Уравнение теплопроводности в общем виде. Уравнение теплопроводности
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В настоящее время аналитическим путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности.
А.В.Лыков, например, рассматривает четыре метода решения уравнения теплопроводности в условиях одномерной задачи: метод разделения переменных, метод источников, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований.
В дальнейшем остановимся только на первом методе, получившем наибольшее распространение.
Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности в условиях одномерной задачи и без источников теплоты имеет вид
T/?ф = a ? 2 t/?x 2 .(3.1)
Это уравнение является частным случаем однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных x и ф:
Легко проверить, что частным решением этого уравнения будет выражение
t = C exp (бx + вф).(3.3)
Действительно:
- ?t/?x = бС ехр (бx + вф);?t/?ф = вС ехр (бx + вф);
- ? 2 t/?x 2 = б 2 С ехр (бx + вф);
- ? 2 t/?ф 2 = в 2 С ехр (бx + вф);? 2 t/(?x ?ф) = бвС ехр (бx + вф).(3.4)
Совместное решение последних семи уравнении дает
a 1 б 2 + b 1 бв + c 1 в 2 + d 1 б + l 1 в + f 1 = 0.(3.5)
Последнее уравнение называется уравнением коэффициентов.
Переходя к уравнению (3.1) сопоставляя его с уравнением (3.2), заключаем, что
b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0;a 1 = - a;l 1 = 1.(3.6)
Уравнение коэффициентов (3.5) для частного случая уравнения (3.1) приобретает вид
Б 2 a + в = 0(3.7)
в = б 2 a.(3.8)
Таким образом, частное решение (3.3) является интегралом дифференциального уравнения (3.1) и с учетом (3.8) приобретет вид
t = C exp (б 2 aф + бx).(3.9)
В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для C, б, a.
Выражение (3.9) может быть представлено в виде произведения
t = C exp (б 2 aф) exp (бx),(3.10)
где сомножитель exp (б 2 aф) является функцией только времени ф, а сомножитель exp (бx) -- только расстояния x:
exp (б 2 aф) = f (ф);exp (бx) = ц (x).(3.11)
С увеличением времени ф температура во всех точках непрерывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практических задачах не встречается. Поэтому обычно берут только такие значения б, при которых б 2 отрицательно, что возможно при б чисто мнимой величине. Примем
б = ± iq,(3.12)
где q -- произвольное действительное число (ранее значком q обозначали удельный тепловой поток),
В этом случае уравнение (3.10) приобретет следующий вид:
t = C exp (- q 2 aф) exp (± iqx).(3.13)
Обращаясь к известной формуле Эйлера
exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)
и, пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.13). Получим два решения в комплексном виде:
Суммируем левые и правые части уравнений (3.15), затем отделим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два решения:
Введем обозначения:
(C 1 + C 2)/2 = D;(C 1 - C 2)/2 = C(3.17)
тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности (3.1):
t 1 = D exp (- q 2 aф) cos (qx);t 2 = C exp (- q 2 aф) sin (qx).(3.18)
Известно, что если искомая функция имеет два частных решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (3.1), т. е. решением этого уравнения будет
t = C exp (- q 2 aф) sin (qx) + D exp (- q 2 aф) cos (qx),(3.19)
а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно записать в следующем виде:
Любые значения q m , q n , C i , D i в уравнении (3.20) будут удовлетворять уравнению (3.1). Конкретизация в выборе этих значений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения q m и q n определяются из граничных условий, а C i , и D i , -- из начальных.
Помимо общего решения уравнения теплопроводности (3.20) в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от x, а другая - от ф, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:
Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по ф, а затем 2 раза по x и подставив результат в дифференциальное уравнение (3.1).
Частный пример нестационарного температурного поля в стенке
Рассмотрим пример применения полученного выше решения.
Исходные данные.
- 1. Дана бетонная стенка толщиной 2X = 0,80 м.
- 2. Температура окружающей стенку среды и = 0°С.
- 3. В начальный момент времени температура стенки во всех точках F(x)=1°C.
- 4. Коэффициент теплоотдачи стенки б=12,6Вт/(м 2 ·°С); коэффициент теплопроводности стенки л=0,7Вт/(м·°С); плотность материала стенки с=2000кг/м 3 ; удельная теплоемкость c=1,13·10 3 Дж/(кг·°С); коэффициент температуропроводности a=1,1·10 -3 м 2 /ч; относительный коэффициент теплоотдачи б/л = h=18,0 1/м. Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.
Решение. Обращаясь к общему решению (3.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симметричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает, и при x = Х оно будет иметь вид
Значения определены из граничных условий (без дополнительных здесь пояснений) и приведены в табл.3.1.
Располагая значениями из табл.3.1, находим искомый ряд значений по формуле
Таблица 3.1 Значения функций, входящих в формулу (3.24)
|
|
|
|
|
т. е. Д1 = 1,250; Д2 = -- 0,373; Д3 = 0,188; Д4 = -- 0,109; Д5 = 0,072.
Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:
Чтобы получить расчетное распределение температуры через 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд значений на время через 5 ч. Эти расчеты выполнены в табл.3.2.
Таблица 3.2 Значения функций, входящих в формулу (3.23)
|
A=(q ni X) 2 (aф/X 2) |
|||||
Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента
На рис.3.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими цифрами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (3.25) и (3.26).
Рис.3.1.
При решении практических задач обычно нет необходимости определять температуру во всех точках стенки. Можно ограничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точки, например для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (3.23) значительно сократится.
Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Т с, то уравнение (3.20) примет вид
Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях
Не будем приводить последовательный ход решения уравнения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имеющихся готовых решений.
Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, температура Т с Температура на поверхности 0°С удерживается в течение всего расчетного периода.
Требуется найти t = f(x, ф).
Неподвижное водохранилище покрылось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Т с = 4°С). Глубина водохранилища 5м (Х = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Температуропроводность неподвижной воды a = 4,8·10 -4 м 2 /ч. Тепловой поток у дна, т. е. при x = 0, отсутствует.
В течение расчетного периода (ф=3·30·24=2160ч) температура на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при x = Х Т п = 0°С. Весь расчет сводим в табл. 3 и 4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т. е. t 0(дно) = 4°С; t 1 = 4°С; t 2 = 3,85°С; t 3 = 3,30°С; t 4 = 2,96°С; t 5(пов) = 0°С.
Таблица 3.3
Таблица 3.4
Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особенностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомендации к этим расчетам можно найти в пособиях и в работах К.И.Россинского .
Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени ф = 0 во всех точках температура тела равна Т с. Для всех моментов времени ф > 0 на поверхности тела поддерживается температура Т п = 0°С.
Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию времени: t = f (x, ф),
Решение. Температура в любой точке тела и в любой момент времени
где есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от функции даны в табл.3.5.
Таблица 3.5
Практически решение начинается с определения отношения, в котором х и ф заданы в условии задачи.
Количество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь расчетный период с начального момента до расчетного
В начальный момент времени температура почвы от поверхности до значительной глубины была постоянной и равной 6°С. В этот момент температура на поверхности почвы упала до 0°С.
Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы a = 0,001 м 2 /ч, а также оценить количество теплоты, теряемое поверхностью за это время.
По формуле (3.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч t=6·0,87=5,2°С.
Общее же количество теплоты, потерянной единицей поверхности почвы, при коэффициенте теплопроводности л = 0,35 Вт/(м·°С), удельной теплоемкости c = 0,83·10 3 Дж/(кг·°С) и плотности с = 1500 кг/м 3 определим по формуле (3.30) Q=l,86·10 6 Дж/м 2 .
интегральный теплопроводность теплота тело
Рис.3.2
Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограниченного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодические колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гармонические, т. е. температура поверхности меняется по косинусоиде:
где -- продолжительность колебания (период), T 0 -- температура поверхности,
T 0 макс -- ее максимальное отклонение,.
Требуется определить температурное поле как функцию времени.
Амплитуда колебаний температуры меняется с x по следующему закону (рис.3.2):
Пример к задаче № 3. Изменение температуры на поверхности сухой песчаной почвы в течение года характеризуется косинусоидальным ходом. Средняя годовая температура при этом равна 6°С при максимальных отклонениях от средней летом и зимой, достигающих 24 °С.
Требуется определить температуру грунта на глубине 1 м в момент, когда температура на поверхности равна 30°С (условно 1/VII).
Выражение косинусоиды (3.31) применительно к данному случаю (температуре поверхности) при T 0 макс = 24 0 С примет вид
Т 0 = 24 cos (2рф/8760) + 6.
Ввиду того, что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6°С, а не нуль, как в уравнении (3.32), расчетное уравнение примет следующий вид:
Приняв для грунта коэффициент температуропроводности a = 0,001 м 2 /ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через 8760 ч от начального момента), найдем
Расчетное выражение (3.34) приобретет следующий вид: t = 24e -0,6 ·0,825 + 6 = 16,9 °С.
На той же глубине 1м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (3.33), составит
T 1 макс = 24e -0,6 = 13,2 °С,
а максимальная температура на глубине 1 м
t 1 макс = T x макс + 6 = 13,2 + 6 =19, 2 °С.
В заключение отметим, что рассмотренные задачи и подходы могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.
Ниже будут рассмотрены несколько задач на определение температурных полей для относительно простых геометрических и физических условий, которые допускают несложные по форме аналитические решения и вместе с тем дают полезную иллюстрацию характерных физических процессов, связанных с теплопередачей в твердом теле.
Рассмотрим стержень с термоизолированной боковой поверхностью (рис. 38). В этом случае теплопередача может осуществляться вдоль стержня. Если совместить стержень с осью декартовой системы координат, то стационарное уравнение теплопроводности будет иметь видПри постоянных значениях коэффициента теплопроводности объемной мощности тепловыделения последнее уравнение можно дважды проинтегрировать
(75)
Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий. Например, если на концах стержня задана температура , . Тогда из (75) имеем
Отсюда найдем постоянные интегрирования и . Решение при указанных граничных условиях получит вид
Из последней формулы видно, что при отсутствии источников тепловыделения . Температура в стержне меняется по линейному закону от одного граничного значения до другого
Рассмотрим теперь другое сочетание граничных условий. Пусть на левом конце стержня внешний источник создает тепловой поток . На правом конце стержня сохраним прежнее условие, таким образом, имеем
Выражая эти условия с помощью общего интеграла (75), получим систему относительно постоянных интегрирования
Найдя из полученной системы неизвестные постоянные, получим решение в виде
Как и в предыдущем примере при отсутствии внутренних источников тепловыделения распределение температуры вдоль стержня будет линейным
При этом температура на левом конце стержня, где расположен внешний источник тепла, будет равна .
В качестве следующего примера найдем стационарное распределение температуры по радиусу в сплошном длинном круговом цилиндре (рис. 39). Существенно упростит задачу в этом случае применение цилиндрической системы координат. В случае цилиндра с большим отношением длины к радиусу и постоянным распределени
ем внутреннего источника тепловыделения, температуру вдали от концов цилиндра можно считать независящей от осевой координаты цилиндрической системы . Тогда стационарное уравнение теплопроводности (71) получит вид
Двукратное интегрирование последнего уравнения (при постоянной ) дает
Условие симметрии распределения температуры на оси цилиндра () дает
Откуда имеем
Последнее условие будет выполнено при . Пусть на поверхности цилиндра () задана температура . Тогда можно найти вторую постоянную интегрирования из уравнения
Отсюда найдем и запишем решение в окончательном виде
В качестве численного примера применения полученного результата рассмотрим распределение температуры в плазме цилиндрического дугового разряда радиусом мм. Граница разрядного канала формируется как область, где прекращаются ионизационные процессы. Выше мы видели, что заметная ионизация газа при нагреве прекращается при K. Поэтому приведенное значение можно принять в качестве граничного K. Объемную плотность мощности тепловыделения в плазме разряда найдем из закона Джоуля–Ленца , где σ
- электропроводность плазмы, E
- напряженность электрического поля в канале разряда. Характерные для дугового разряда значения составляют 1/Ом м, В/м. Теплопроводность дуговой плазмы выше, чем в нейтральном газе, при температурах порядка 10000 К ее значение может принято равным . Таким образом, параметр 
. Распределение температуры по радиусу показано на рис. 39. При этом температура на оси разряда () составит 8000 K.
В следующем примере мы рассмотрим тепловое поле, обладающее сферической симметрией. Такие условия возникают, в частности, если источник тепловыделения малого размера размещен в крупном массиве, например межвитковое дуговое замыкание в обмотке крупной электрической машины. В этом случае совмещая центр сферической системы координат с источником тепловыделения мы можем привести стационарное уравнение теплопроводности (64) к виду:
Дважды интегрируя это уравнение, найдем
Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что дуговое замыкание имеет место внутри сферической полости радиуса (рис. 40). Примем сопротивление дугового разряда равным Ом, ток разряда А. Тогда мощность, выделяемая в полости составит . Рассмотрим решение вне области действия источника тепловыделения .Тогда интеграл уравнения теплопроводности упростится
Для вычисления постоянных интегрирования воспользуемся во-первых условием в бесконечно удаленных от места разряда точках , где C - температура окружающей среды. Из последнего выражения находим . Для определения постоянной примем, что выделяющаяся в разряде тепловая энергия равномерно распределяется по поверхности сферической полости радиуса . Поэтому тепловой поток на границе полости составит
Поскольку , то из двух последних уравнений имеем
а решение в окончательном виде
При этом температура на границе полости ( мм) при Вт/мК составит 
K (рис. 40).
В качестве первого примера этой группы рассмотрим тепловое поле в сечении провода круглого сечения, имеющего канал охлаждения (рис. 41, а ). Провода с каналами охлаждения применяют в обмотках мощных электрических машин и катушек для получения сильных магнитных полей. Для данных устройств характерно длительное протекание токов с амплитудой в сотни и даже тысячи Ампер. Например, прокачивается жидкость, например вода, или газ (водород, воздух), что обеспечивает отбор тепловой энергии с внутренней поверхности канала и охлаждение провода в целом. В данном случае мы имеем дело с принудительным конвективным охлаждением поверхности канала, для которой можно использовать обоснованное выше граничное условие третьего рода (67). Если совместить ось цилиндрической системы координат с осью провода, то температура будет зависеть только от радиальной координаты. Общий интеграл стационарного уравнения теплопроводности для этого случая был получен нами ранее
Объемная плотность мощности тепловыделения находится из закона Джоуля-Ленца: , j - плотность тока, σ - электропроводность,
где R - радиус сечения провода, a - радиус охлаждающего канала. Провод снаружи окружен слоями изоляции, обладающей, по сравнению с проводником, относительно низкой теплопроводностью. Поэтому в первом приближении примем внешнюю поверхность провода теплоизолированной, т. е. тепловой поток на ней
На поверхности охлаждающего канала тепловой поток определяется условием третьего рода
где - коэффициент теплоотдачи, - температура охлаждающего потока. Знак минус в правой части взят вследствие того, что нормаль к внутренней поверхности канала направлена в противоположном к оси направлении.
Подставляя в первое из выписанных граничных условий выражение для температуры (76), получим
откуда . Второе граничное условие дает
откуда находим
Вместе с тем из (76)
Сравнивая последние два выражения, найдем
После подстановки найденных постоянных в общее решение (76) и преобразований получим
Температура на границах сечения провода из полученного решения будет рассчитываться по формулам
Распределение температуры по радиусу сечения для провода с каналом охлаждения с параметрами: A, Вт/мК, 
1/Ом м, о С, мм, см показано на рис. 41, б
.
Из рис. 41, б следует, что в пределах сечения провода изменение температуры относительно мало по сравнению с ее средней величиной, что объясняется высокой теплопроводностью λ и относительно малыми размерами сечения провода.
Иная ситуация возникает в распределении температуры вдоль провода, состоящего из отдельных участков, контактирующих друг с другом. Ухудшение качества контактов между соединяемыми проводниками приводит к повышению тепловыделения в месте соединения двух проводов по сравнению с самим проводом. Дистанционное измерение температуры провода с помощью тепловизоров или пирометров позволяет диагностировать качество контактных соединений.Рассчитаем распределение температуры вдоль провода при наличии дефектного контакта. Предыдущий пример показал, что даже в самых жестких условиях изменение температуры в пределах сечения провода весьма мало. Поэтому для нашего расчета можно в первом приближении принять распределение температуры в пределах сечения провода однородным. Распределение тепловыделения вдоль провода зависит от распределения электрического сопротивления вдоль провода, которое однородно вдали от контакта и возрастает при приближении к нему. Совместим ось декартовой системы координат с осью провода, а начало координат - с центром контактной области (рис. 42). В качестве модели распределения сопротивления вдоль провода возьмем следующее распределение погонного сопротивления
где , - параметр, характеризующий линейный размер контактной области . Мощность тепловыделения на единицу длины провода составляет 
. В расчете на единицу объема мощность тепловыделения равна
где S - сечение провода. Охлаждение провода осуществляется естественной конвекцией с его поверхности. Конвективный тепловой поток с единицы длины провода есть
где α - коэффициент теплоотдачи, - температура окружающего воздуха, p - периметр сечения провода. Теплоотдача в окружающую среду в расчете на единицу объема проводника составит
Стационарное распределение температуры вдоль провода будет подчиняться уравнению теплопроводности
Для дальнейших преобразований полученного уравнения примем постоянным вдоль провода коэффициент теплопроводности , подставим полученные выше выражения для и , а также в качестве искомой функции вместо T возьмем :
придем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
Решение полученного уравнения будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения
и частного решения в форме правой части
.
Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд Потребовав, чтобы функция и(х} t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию, получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно. Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция и(х, t) - сумма ряда (12) - непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при. Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание. В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее. Пример. Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи. собственные функции Хп(х) = мп пх. При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п\ так что Решение задачи (15)-(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда. Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие. Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци - как решение задачи Задача (8)-(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям { краевой задачи. Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем! Пользуясь начальным условием для v(x, t), Метод Фурье для уравнения теплопроводности находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20). Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)-(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы
Решение алгебраических уравнений методом Ньютона
Достаточно популярным методом решения уравнений является метод касательных , или метод Ньютона . В этом случае уравнение вида f (x ) = 0 решается следующим образом. Сначала выбирается нулевое приближение (точка x 0). В этой точке строится касательная к графику y = f (x ). Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс является следующим приближением для корня (точка x 1). В этой точке снова строится касательная и т.д. Последовательность точек x 0 , x 1 , x 2 … должна привести к истинному значению корня. Условием сходимости является .
Так как уравнение прямой, проходящей через точку x 0 , f (x 0) (а это и есть касательная), записывается в виде
а в качестве следующего приближения x 1 для корня исходного уравнения принимается точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, то следует положить в этой точке y = 0:
откуда немедленно следует уравнение для нахождения следующего приближения через предыдущее:
На Рис. 3 показана реализация метода Ньютона средствами Excel. В ячейку B3 вводится начальное приближение (x 0 = -3), а затем остальных ячейках столбца вычисляются все промежуточные величины вплоть до вычисления x 1 . Для выполнения второго шага в ячейку C3 вводится значение из ячейки B10 и процесс вычислений повторяется в столбце C. Затем, выделив ячейки C2:C10 можно, потянув за маркер в правом нижнем углу выделенной области, распространить его на столбцы D:F. В итоге в ячейке F6 получено значение 0, т.е. значение в ячейке F3 есть корень уравнения.
Этот же результат можно получить, используя циклические вычисления. Тогда после заполнения первого столбца и получения первого значения x 1 следует ввести в ячейку H3 формулу =H10. При этом вычислительный процесс будет зациклен и для того, чтобы он выполнялся, в меню Сервис | Параметры на вкладке Вычисления необходимо установить флажок Итерации и указать предельное число шагов итерационного процесса и относительную погрешность (установленное по умолчанию число 0,001 явно недостаточно во многих случаях), по достижении которой вычислительный процесс остановится.
Как известно, такие физические процессы, как перенос тепла, перенос массы в процессе диффузии, подчиняются закону Фика
где l - коэффициент теплопроводности (диффузии), а T – температура (концентрация), а – поток соответствующей величины. Из математики известно, что дивергенция потока равна объемной плотности источника Q этой величины, т.е.
или, для двухмерного случая, когда исследуется распределение температуры в одной плоскости, это уравнение может быть записано в виде:
Решение этого уравнения аналитически возможно только для областей простой формы: прямоугольник, круг, кольцо. В остальных ситуациях точное решение этого уравнения невозможно, т.е. невозможно и определить распределение температуры (или концентрации вещества) в сложных случаях. Тогда приходится использовать приближенные методы решения таких уравнений.
Приближенное решение уравнения (4) в области сложной формы состоит из нескольких этапов: 1) построение сетки; 2) построение разностной схемы; 3) решение системы алгебраических уравнений. Рассмотрим последовательно каждый из этапов и их реализацию с помощью пакета Excel.
Построение сетки. Пусть область имеет форму, показанную на рис. 4. При такой форме точное аналитическое решение уравнения (4), например, методом разделения переменных, невозможно. Поэтому будем искать приближенное решение этого уравнения в отдельных точках. Нанесем на область равномерную сетку, состоящую из квадратов со стороной h . Теперь, вместо того, чтобы искать непрерывное решение уравнения (4), определенное в каждой точке области, будем искать приближенное решение, определенное только в узловых точках сетки, нанесенной на область, т.е. в углах квадратов.
Построение разностной схемы. Для построения разностной схемы рассмотрим произвольный внутренний узел сетки Ц (центральный) (рис.5). С ним соседствуют четыре узла: В (верхний), Н (нижний), Л (левый) и П (правый). Напомним, расстояние между узлами в сетке равно h . Тогда, используя выражение (2) для приближенной записи вторых производных в уравнении (4), можно приближенно записать:
откуда легко получить выражение, связывающее значение температуры в центральной точке с ее значениями в соседних точках:
Выражение (5) позволяет нам, зная значения температуры в соседних точках, вычислить ее значение в центральной точке. Такая схема, в которой производные заменяются конечными разностями, а для поиска значений в точке сетки используются только значения в ближайших соседних точках, называется цетрально-разностной схемой, а сам метод – методом конечных разностей.
Нужно понимать, что уравнение, аналогичное (5), мы получаем ДЛЯ КАЖДОЙ точки сетки, которые, таким образом, оказываются связанными друг с другом. То есть мы имеем систему алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу узлов сетки. Решать такую систему уравнений можно различными методами.
Решение системы алгебраических уравнений. Метод итераций. Пусть в граничных узлах температура задана и равна 20, а мощность теплового источника равна 100. Размеры нашей области заданы и равны по вертикали 6, а по горизонтали 8, так что сторона квадрата сетки (шаг) h = 1. Тогда выражение (5) для вычисления температуры во внутренних точках принимает вид
Поставим в соответствие каждому УЗЛУ ячейку на листе Excel. В ячейках, соответствующих граничным точкам, введем число 20 (на рис. 6 они выделены серым цветом). В остальных ячейках запишем формулу (6). Например в ячейке F2 она будет выглядеть следующим образом: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Записав эту формулу в ячейку F2, можно ее скопировать и вставить в остальные ячейки области, соответствующие внутренним узлам. При этом Excel будет сообщать о невозможности проведения вычислений из-за зацикливания результатов:
Нажмите «Отмена» и перейдите в окно Сервис|Параметры|Вычисления , где установите флажок в разделе «Итерации», указав при этом в качестве относительной погрешности величину 0,00001, а в качестве предельного количества итераций 10000:
Такие значения обеспечат нам малую СЧЁТНУЮ погрешность и гарантируют, что итерационный процесс дойдет до заданной погрешности.
Однако эти значения НЕ ОБЕСПЕЧИВАЮТ малую погрешность самого метода, так как последняя зависит от погрешности при замене вторых производных конечными разностями. Очевидно, что эта погрешность тем меньше, чем меньше шаг сетки, т.е. размер квадрата, на котором строится наша разностная схема. Это означает, что точно ВЫЧИСЛЕННОЕ значение температуры в узлах сетки, представленное на рис. 6, на самом деле может оказаться совсем не соответствующим действительности. Существует единственный метод проверить найденное решение: найти его на более мелкой сетке и сравнить с предыдущим. Если эти решения отличаются мало, то можно считать, что найденное распределение температуры соответствует действительности.
Уменьшим шаг вдвое. Вместо 1 он станет равным ½. Число узлов у нас соответственно изменится. По вертикали вместо 7 узлов (было 6 шагов, т.е. 7 узлов) станет 13 (12 квадратов, т.е. 13 узлов), а по горизонтали вместо 9 станет 17. При этом не следует забывать, что величина шага уменьшилась вдвое и теперь в формуле (6) вместо 1 2 нужно в правой части подставлять (1/2) 2 . В качестве контрольной точки, в которой будем сравнивать найденные решения, возьмем точку с максимальной температурой, отмеченную на рис. 6 желтым цветом. Результат вычислений показан на рис. 9:
Видно, что уменьшение шага привело к существенному изменению значения температуры в контрольной точки: на 4%. Для повышения точности найденного решения следует ещё уменьшить шаг сетки. Для h = ¼ получим в контрольной точке 199,9, а для h = 1/8 соответствующее значение равно 200,6. Можно построить график зависимости найденной величины от величины шага:
Из рисунка можно сделать вывод, что дальнейшее уменьшение шага не приведет к существенному изменению температуры в контрольной точке и точность найденного решения можно считать удовлетворительной.
Используя возможности пакета Excel, можно построить поверхность температуры, наглядно представляющую ее распределение в исследуемой области.
Уравнение теплопроводности для нестационарного случая
нестационарным , если температура тела зависит как от положения точки, так и от времени.
Обозначим через и = и (М , t ) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S , в момент времени t . Известно, что количество теплоты dQ , поглощаемой за время dt , выражается равенством
где dS − элемент поверхности, k − коэффициент внутренней теплопроводности, − производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S . Так как распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если > 0, и dQ < 0, если < 0.
Из равенства (1) следует
Теперь найдем Q другим способом. Выделим элемент dV объема V , ограниченного поверхностью S . Количество теплоты dQ , получаемой элементом dV за время dt , пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.
где плотность вещества, коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества.
Из равенства (2) следует
Таким образом,
где . Учитывая, что = , , получим
Заменяя правую часть равенства с помощью формулы Остроградского – Грина, получим
для любого объема V . Отсюда получаем дифференциальное уравнение
которое называют уравнением теплопроводности для нестационарного случая .
Если тело есть стержень, направленный по оси Ох , то уравнение теплопроводности имеет вид
Рассмотрим задачу Коши для следующих случаев.
1. Случай неограниченного стержня. Найти решение уравнения (3) (t > 0, ), удовлетворяющее начальному условию . Используя метод Фурье, получим решение в виде
− интеграл Пуассона.
2. Случай стержня , ограниченного с одной стороны. Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и краевому условию , выражается формулой
3. Случай стержня , ограниченного с двух сторон. Задача Коши состоит, чтобы при х = 0 и х = l найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям, например, или .
В этом случае частное решение ищется в виде ряда
для краевых условий ,
и в виде ряда
для краевых условий .
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
и краевым условиям .
□ Решение задачи Коши будем искать в виде
Таким образом,
Уравнение теплопроводности для стационарного случая
Распределение тепла в теле называют стационарным , если температура тела и зависит от положения точки М (х , у , z ), но не зависит от времени t , т.е.
и = и (М ) = и (х , у , z ).
В этом случае 0 и уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа
которое часто записывают в виде .
Чтобы температура и в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности S тела. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.
Найти функцию и , удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема V и принимающую в каждой точке М поверхности S заданные значения
Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).
Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален , то на поверхности S вместо краевого условия (2) будем иметь условие
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей .
Для плоских фигур уравнение Лапласа записывается в виде
Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты z , т.е. и (М ) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси Oz .
Заменой , уравнение (4) можно преобразовать к полярным координатам
С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функция называется гармонической в области D , если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пример. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня , .
□ Имеем одномерный случай. Требуется найти функцию и , удовлетворяющую уравнению и краевым условиям , . Общее уравнение указанного уравнения имеет вид . Учитывая краевые условия, получим
Таким образом, распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. ■
Задача Дирихле для круга
Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Надо найти функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где − заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа
Используя метод Фурье, можно получить
− интеграл Пуассона.
Пример. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R , верхняя половина поддерживается при температуре , а нижняя – при температуре .
□ Если , то , а если , то . Распределение температуры выражается интегралом
Пусть точка расположеиа в верхнем полукруге, т.е. ; тогда изменяется от до , и этот интервал длины не содержит точек . Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим
Так правая часть отрицательна, то и при удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение
Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал изменения содержит точку , но не содержит 0, и можно сделать подстановку , откуда , , Тогда для этих значений имеем
Проведя аналогичные преобразования, найдем
Так как правая часть теперь положительна , то . ■
Метод конечных разностей для решения уравнения теплопроводности
Пусть требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее:
начальному условию
и краевым условиям
Итак, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), (4), т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , , .
Построим прямоугольную сетку, образованную прямыми
− шаг вдоль оси Ох ;
− шаг вдоль оси Оt .
Введем обозначения:
Из понятия конечных разностей можно записать
аналогично
Учитывая формулы (6), (7) и введенные обозначения, запишем уравнение (1) в виде
Отсюда получим расчетную формулу
Из (8) следует, что если известны три значения к k -ом слое сетки: , , , то можно определить значение в (k + 1)-ом слое.
Начальное условие (2) позволяет найти все значения на прямой ; краевые условия (3), (4) позволяют найти значения на прямых и . По формуле (8) находим значения во всех внутренних точках следующего слоя, т.е. для k = 1. Значения искомой функции в крайных точках известны из граничных условий (3), (4). Переходя от одного слоя сетки к другому, определяем значения искомого решения во всех узлах сетки. ;
