Для того чтобы стержневые системы (балки, рамы и т. п.) могли служить сооружениями и выдерживать внешние нагрузки, необходимо наложить на них определенные связи, которые делят на связи внешние и внутренние. Под связью обычно понимают тела (препятствия), ограничивающие перемещение другим телам, точкам или сечениям конструкции. На практике такие тела называют опорными устройствами, фундаментами и т. п. В инженерных расчетах вводится понятие идеальных связей. Если, например, на левый торец бруса (рис. 1.1, а) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, то говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно она изображается в виде стержня с двумя шарнирами. Если запрещено вертикальное и горизонтальное смещения, то на систему наложены две внешние связи (рис. 1.1, б). Заделка в плоской системе дает три внешние связи (рис 1.1, в), препятствующие вертикальному, горизонтальному смещениям и повороту сечения заделки. лд Рис. 1.1 Для того чтобы закрепить тело (стержень) на плоскости и обеспечить ему геометрическую неизменяемость, необходимо и достаточно наложить на него три связи (рис. 1.2), причем все три связи не должны быть взаимно параллельными и не должны пересекаться в одной точке. В дальнейшем связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость системы и ее статическую определимость, будем понимать как необходимые связи. Геометрически неизменяемой системой называют такую систему, которая может изменять свою форму только за счет деформации ее элементов (рис. 1.2), в то время как геометрически изменяемая система может допускать перемещения и при отсутствии деформации (рис. 1.3). Такая система является механизмом (рис. 1.3, а). 5 Рис. 1.2 Наряду с отмеченными различают еще мгновенно изменяемые системы, под которыми понимают системы, допускающие бесконечно малые перемещения без деформации ее элементов (рис. 1.4). Рис. 1.3 Так, например, под действием силы P, приложенной в шарнире Д (рис. 1.4, а), стержни ДВ и ДС без деформации повернутся относительно шарниров В и С на бесконечно малый угол d . Тогда из условия равновесия, вырезанного при малом значении величины силы P усилия в стержнях ДВ и ДС будут стремиться к бесконечности, вызывая осевую деформацию стержней и изменяя положение системы. 6 Рис. 1.4 Для рамы на рис. 1.4, б при рассмотрении уравнения статики момент силы P не уравновешивается (реакция R1 ,не может вызывать момента относительно рассматриваемой точки, так как линия ее действия проходит через эту точку). Аналогичная особенность проявляется и для системы, показанной на рис. 1.4, в. Момент силы P относительно точки k не уравновешивается. Таким образом, эти системы также допускают бесконечно малые перемещения (относительно моментной точки) без деформации их элементов. В сооружениях и конструкциях такие системы недопустимы. Если геометрически неизменяемая система имеет помимо необходимых еще и дополнительные связи, то независимых уравнений статики оказывается недостаточно для определения неизвестных усилий (реакций связей) и такая система называется статически неопределимой. Разница между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и числом независимых уравнений статики характеризует степень статической неопределимости, которую принято обозначать символом n . Так, балка и рама, представленные на рис. 1.5, являются два раза (дважды) статически неопределимыми. В этих схемах число неизвестных реакций равно пяти, а число независимых уравнений статики, которые можно составить для каждой из них, равно трем. Всякий замкнутый контур представляет собой систему трижды статически неопределимую (рис. 1.6). Рис. 1.6 Постановка одиночного шарнира снижает степень статической неопределимости системы на единицу (рис. 1.7, а), поскольку изгибающий момент в шарнире отсутствует. Под одиночным шарниром понимают шарнир, соединяющий концы двух стержней. Рис. 1.7 Шарнир, включенный в узел, где сходятся концы нескольких стержней, понижает степень статической неопределимости системы на число одиночных шарниров, определяемых по формуле О=С–1. Здесь под C понимают число стержней, сходящихся в узле. Например, в раме (рис. 1.7, б) число одиночных шарниров О=С–1=3-1=2, поэтому степень статической неопределимости понижается на две единицы и становится равной n4 .

Расчет статически определимых рам

Основные понятия Рамой называют стержневую систему, у которой все или некоторые узловые соединения являются жёсткими (рис. 1.8 а). Жёсткий узел характеризуется тем, что угол между осями стержней, которые его образуют, не изменяется при действии нагрузки (рис. 1.8 а). Угол между касательными к упругим линиям ригеля и наклонной стойки в узле В сохраняет неизменную величину α, а угол между касательными к упругим линиям того же ригеля и правой стойки в узле D сохраняет неизменную величину β. Рамы могут быть плоскими, когда все оси стержней лежат в одной плоскости (рис 1.8 а, б, в) и пространственными (рис. 1.8 г). Горизонтальный стержень рамы называют ригелем, а стержни, его поддерживающие, называют стойка. Левая стойка наклонная, а правая вертикальная. Рамы могут быть простыми, состоящими из трёх стержней (рис 1.8), сложными, многопролётными (рис 1.8 б) и многоярусными (рис 1.8 в). Также они подразделяются на статически определимые (рис 1.8 б), когда число неизвестных реакций, усилий меньше или равно числу независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для данной рамы, и статически неопределимые, если это условие не выполняется (рис 1.8 а, в, г), об этом будет сказано далее. В отличии от балок, в сечениях рам, наряду с изгибающими моментами, поперечной силой, возникает еще и продольная сила. Рис. 1.8 Определение усилий (М, Q, N) выполняются также, как и в балках посредством метода сечений (РОЗУ). При этом правило знаков для изгибающего момента М и поперечной силы Q такое же, как для балок, а для продольной силы N, как в 9 стержнях при растяжении – сжатии. Определение нормальных n и касательных напряжений производится по тем же зависимостям, как в балках, если стержень испытывает изгиб. В случае сложного сопротивления, когда наряду с изгибающим моментом возникает в стержне еще и продольная сила, то расчет ведется как и при изгибе с растяжением – сжатием, излагаемым в разделе "Сложное сопртивление”. Пример 1.1 Для заданной рамы (рис.1.9) построить эпюры внутренних усилий и найти величину и направление полного перемещения сечения К, если Р = 5кН; q = 10 кН/м; EIz = const; сечения стоек и ригеля одинаковые I = 8000 см4: 1. Находим реакции опор: а) вертикальные реакции V1,V2: б) горизонтальные реакции Н1 и Н2: 2. Строим эпюры внутренних усилий М, Q, N. а. Построение эпюры изгибающих моментов М.

Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил

Выбираем точку наблюдения, считая, что она находится внутри контура. В этом случае поля расположены выше участков 1-3, 3-4, 4-К, 4-2, рассматриваются как внешние, а внутри контура – внутренние. При определении изгибающих моментов придерживаемся так же правил, что и в балках. Вычисляем моменты в характерных сечениях каждого из участков рамы. Участок 1-3. Момент на конце со стороны опоры – 1, М13 = 0. Момент в узле 3, Знак минус потому, что на участке 1-3 нижняя отсеченная часть изгибается выпуклостью вверх по отношению к наблюдателю. Участок 3-4 (ригель). Момент в начале участка (в сечении узла 3) М34 , такой же, как и на стойке 1– Момент В шарнире момент равен нулю. Участок 2-4 (наклонная стойка) Участок 4-К В начале участка момент МК4 = 0. В конце участка Эпюра изгибающих моментов показана на (рис. 1.10, а) 11 Рис. 1.10 Выполняем проверку правильности построения эпюры М. Если эпюра М построена верно, то любой внеопорный узел или любая часть рамы под действием внешних и внутренних сил должна находиться в равновесии. Вырежем из рамы сечениями бесконечно близкими к узлу, например, узел (4) и рассмотрим его равновесие. Значения моментов берем в соответствующих сечениях из эпюры М (рис. 1.10, б). Уравнения моментов узла (4) имеет вид

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Условие выполняется, значит в примыкающих к узлу (4) сечениях моменты определены верно. Аналогично выполняется проверка в узле (3) и т. д. Примечание Если в узле приложены сосредоточенные внешние усилия (момент или силы) то они должны быть учтены при проверке. Распределенная нагрузка не показывается, т. к. dx – малая величина. б. Построение эпюры поперечных сил Q. Придерживаемся того же правила знака, как для балок: если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа вниз поперечная сила Q > 0, если наоборот – т Участок 1–3. При рассмотрении левой отсеченной части 10 кН.(минус потому, что левая отсеченная часть находится под воздействием силы Н1 12 направленной вниз, если смотреть на отсеченную часть из точки наблюдателя). Поперечная сила постоянна по длине этого участка (рис. 1.11, а) Рис. 1.11 Участок 3-4 Поперечная сила в любом сечении, взятом на расстоянии х от узла (3) при рассмотрении сил действующих от сечения слева, равна 103 01QV xqx. При х = 0, получим поперечную силу в сечении левее узла (3), т. е. Q34 30кН; при х = 3 м, получаем поперечную силу Q, т. е. в сечении левее узла (4). Поперечная сила на участке 3–4 изменяется по линейному закону (рис.1.11, а). Участок 4–К. В сечении на расстоянии х от правого конца участка (рис. 1.11, а) поперечная сила равна (линейный закон). При х = 0, получаем, а при х = 3 м, получаем Участок 2–4. Поперечную силу в сечении этого участка получим, проектируя внешние силы Н2, V2, приложенные в точке 2 (рис. 1.11,а) на ось У, перпендикулярную продольной оси стержня. По длине участка 3–4 поперечная сила постоянная. Эпюра поперечных сил изображена на (рис. 1.11, а).

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости стержневых систем

в. Построение эпюры продольных сил N. Вычисляем продольную силу в сечении каждого участка. Участок 1–3. Рассматриваем нижнюю часть (рис. 1.12) Минус взят потому, что продольная сила, уравновешивающая реакцию V1, направлена к сечению, т. е. навстречу реакции V1, значит отсеченный участок испытывает сжатие. Если бы продольная сила была направлена от сечения, то знак N – положителен. Участок 3-4 (на ригеле). Продольная сила N30 кН, отрицательна, так как сжимающая. В сечении х (рис.1.12, б) на участке 4-К: перпендикулярны продольной оси участка. Участок 2–4. Рис. 1.12 На наклонной стойке в сечении х продольную силу находим, проектируя внешние силы V2 и Н2 на ось Х, совпадающею с осью стержня (рис. 1.12): 34 5 4 (сжатие), Поэтому присваиваем знак минус N24 кН. 14 Эпюра продольных сил изображена на (рис. 1.11, б). 3. Определяем перемещения сечения К. Для этого используем интеграл Мора, формулы А.К. Верещагина, Симпсона, (см. раздел "Прямой изгиб”). Определяем вертикальное перемещение сечения К. Для этого освобождаем раму от всех внешних нагрузок (q, Р) и прикладываем в этом сечении единичную безразмерную силу (рис.1.13, а). Направление силы принимаем сами, например, в низ.

Расчет методом сил статически неопределимых систем, работающих на растяжение или сжатие

Рис. 1.13 На рис. 1.13, а представлена эпюра изгибающих моментов М1 от этой силы. Производим перемножение эпюр М и М1 по способу Верещагина, находим вертикальное перемещение сечения К. На участке 4-К использовалась формула Симпсона, а на участке 2-4 формула Верещагина. Определяем горизонтальное перемещение сечения К. Для этого раму освобождаем от внешних нагрузок, загружаем единичной безразмерной силой, приложенной горизонтально (рис.1.13, б). Эпюра от этой силы показана на рис. 1.13, б. Вычисляем горизонтальное перемещение, используя формулы Верещагина и Симпсона. Знак минус указывает, что действительное горизонтальное перемещение направлено в противоположенную сторону приложения единичной силы, т. е. влево. 15 Находим полное перемещение сечения К как геометрическую сумму найденных перемещений. Направление полного перемещения определяется углом (рис 1.14, б). Определяем угол поворота сечения К. Прикладываем в сечении К единичный безразмерный момент (рис.1.14, а) и строим от него эпюру изгибающих моментов.

Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил в матричной форме

Рис. 1.14 Производим перемножение эпюр М и М3, используя формулу Верещагина, находим угол поворота сечения К: 16 1.3. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил Наиболее широко применяемым методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем определяется так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы или моменты, действующие в местах отброшенных или рассеченных связей. Отсюда и название «метод сил». Сущность метода сил рассмотрим на примере расчета статически неопределимой рамы, изображенной на рис. 1.15. Считаем, что внешняя нагрузка, размеры и жесткости стержней известны. Порядок расчета 2.1. Устанавливаем степень статической неопределимости, для чего используем выражение, где X – число неизвестных (имеется 5 внешних связей); Y – число независимых уравнений статики, которые можно составить для рассматриваемой системы. Для заданной рамы число неизвестных реакций равно пяти, а число независимых уравнений трем, так как система сил плоская и произвольно расположенная, поэтому Система два раза статически неопределима. 2.2. Преобразуем заданную систему в статически определимую, геометрически неизменяемую и эквивалентную заданной системе, т. е. образуем основную систему. Для этого удаляем лишние связи путем их отбрасывания или перерезания. На рис. 1.15 изображена основная система, полученная путем отбрасывания лишних опорных связей, а на рис. 1.16 основные системы образованы путем отбрасывания и перерезания связей. Например, (рис. 1.16, а) в опоре А отброшена горизонтальная связь и в опоре С перерезана связь, препятствующая повороту сечения. Таким образом, для каждой статически неопределимой стержневой системы можно Рис. 1.15 17 подобрать несколько вариантов основных систем (рис. 1.15, 1.16). Необходимо особо обратить внимание на то, что при образовании основной системы метода сил недопустимо введение новых связей. Желательно, чтобы основная система была рациональной, т. е. такой, для которой легче строить эпюры внутренних силовых факторов и объем вычислений был наименьшим. Такая система показана на рис. 1.15 (вариант I). Здесь нет необходимости определять опорные реакции, если строить эпюры со свободного (незакрепленного) конца рамы. Рис. 1.16 2.3. Образуем эквивалентную систему путем нагружения основной системы внешними силами и усилиями отброшенных (перерезанных) связей (рис. 1.17). Неизвестные силовые факторы будем обозначать символом Xi, где i – номер неизвестного. Если отброшенные связи запрещают линейные перемещения, то неизвестными являются силы, при запрете угловых смещений – моменты. Если же основная система была получена путем перерезания лишних связей, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям рассеченной системы в местах перерезания. В рассматриваемом примере X1 и X2 представляют собой вертикальную и горизонтальную составляющие реакции шарнирной опоры А. 2.4. Составляем канонические уравнения метода сил, которые выражают в математической форме записи условия эквивалентности основной и заданной систем. Иначе они выражают условия, обозначающие, что относительные перемещения по направлению удаленных лишних связей от совместного действия внешней нагрузки и неизвестных усилий должны быть равны нулю. Для эквивалентной системы рассматриваемого примера на основании принципа независимости действия сил и рис. 1.18 канонические уравнения запишутся в форме

К фермам с оговоркой можно отнести шпренгельные балки, представляющие собой комбинацию двух- или трёхпролётной неразрезной балки и подпружной тяги; они характерны для стальных и деревянных конструкций, с верхним поясом из неразрезного прокатного профиля (пиленые брусья или пакеты клееных досок). Также могут быть шпренгельные железобетонные фермы небольших пролётов.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

где 11 – относительное перемещение в основной системе по направлению лишней неизвестной X1, вызванное этим же усилием; 12 – относительное перемещение по направлению лишней неизвестной Х1, вызванное усилием X2; 1P – относительное перемещение по направлению действия неизвестной X1, вызванное заданной нагрузкой. Рис. 1.18 Физический смысл этих уравнений. Первое уравнение отрицает возможность вертикального перемещения опорного сечения А по направлению лишнего неизвестного X1 от совместного действия заданной нагрузки Р и полных значений неизвестных X1 и X2. Аналогичный смысл имеет и второе уравнение. В указанной форме (1.1) использование уравнений при инженерных расчетах затруднительно, поэтому преобразуем их к новому виду. С учетом того, что для линейных систем справедливо выражение можно записать: где 11 – относительное перемещение в основной системе по направлению действия силы X1 от действия силы X1 1 (рис. 1.19); 21 – относительное перемещение в основной системе по направлению действия силы X2 от действия силы X1 1. Здесь X1 и X2 – действительные значения реакций отброшенных связей. Тогда канонические уравнения метода сил (1.1) запишутся в виде По аналогии для n раз статически неопределимых систем канонические уравнения имеют вид Здесь коэффициенты с одинаковыми индексами называют главными, а называют побочными коэффициентами. Главные коэффициенты всегда положительны. Побочные коэффициенты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. 1P  – называются свободными или грузовыми коэффициентами. 2.5. Определяем коэффициенты канонических уравнений. Эти коэффициенты представляют собой перемещения точек системы в направлении отброшенных связей, следовательно, их можно найти посредством интеграла Мора: Порядок определения коэффициентов: Рис. 1.19 20 а) строим эпюры изгибающих моментов для основной системы от заданной внешней нагрузки P и от единичных усилий отброшенных связей X11 (рис. 1.20); Рис. 1.20 б) вычисляем коэффициенты канонических уравнений. Поскольку рассматриваемая система состоит только из прямолинейных стержней и жесткости стержней в пределах их длин постоянны, то вычисления интеграла Мора производим по способу А.К. Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр с использованием формул Симпсона и трапеций: 2.6. Записываем систему канонических уравнений. После подстановки найденных коэффициентов в уравнение (1.3) получаем: Решаем систему уравнений и находим неизвестные усилия, кН: Примечание. Если знак усилия получился отрицательный, то это означает, что действительное усилие (реакция) направлено в противоположную строну, чем усилие Xi, принятое в эквивалентной системе. Таким образом, раскрывается статическая неопределимость системы. 2.7. Строим окончательные (действительные) эпюры внутренних силовых факторов для заданной системы. Построение эпюр можно выполнить двумя способами. Первый способ Загружаем основную систему заданной нагрузкой и найденными усилиями X1 и X2 (рис. 1.17), после чего строим эпюры М, Q, и N также, как для обычной статически определимой системы. Построенные таким способом эпюры показаны на рис. 1.21, где ординаты эпюры изгибающих моментов отложены со стороны растянутых волокон. Такой метод наиболее удобен для простых систем. Второй способ Вычисляем значения изгибающих моментов в любом (обычно характерном) сечении на основании принципа независимости действия сил по формуле 22 где k – номер сечения, для которого определяется значение изгибающего момента; n – степень статической неопределимости системы. Рис. 1.21 При этом, если найденное усилие Xi имеет отрицательный знак, то соответствующую эпюру Mi необходимо зеркально отобразить относительно осей стержней. При определении действительных значений изгибающих моментов ординаты моментов в расчетных сечениях берутся из эпюр M1, M2 и MP с учетом их знаков. Знаки моментов в рассматриваемом сечении определяются в зависимости от того, с какой стороны от базовой линии расположены ординаты моментов и от положения точки наблюдателя. В нашем случае принимаем, что точка наблюдателя расположена внутри контура, поэтому за положительные значения моментов принимаются моменты, которые вызывают в расчетном сечении растяжение внутренних волокон, а отрицательные – внешних волокон контура. Например, для сечения Д рамы получаем Аналогично и для других сечений. Окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной системы показана на рис. 1.21, а. 23 2.8. Проводим деформационную проверку правильности построения действительной эпюры изгибающих моментов. Смысл деформационной проверки состоит в подтверждении отсутствия перемещений в основной системе в направлении отброшенных (перерезанных) связей при найденных значениях неизвестных усилий. Так, если неизвестные усилия найдены правильно, то для рассматриваемого примера должны удовлетворяться равенства: Если построить эпюру единичных моментов 2то проверку называют проверкой на групповое перемещение (рис. 1.22): Отсутствие перемещения подтверждает правильность решения задачи. Если выполненные расчеты не подтверждают отсутствие перемещений точек основной системы в направлении отброшенных связей, то для выявления ошибки расчета необходимо проверить правильность определения коэффициентов канонических уравнений по формуле При отсутствии равенства в этом уравнении выполняется построчная проверка коэффициентов канонических уравнений. Первая строка: . Если нет ошибки расчета в этой строке, то должно соблюдаться условие: Аналогично можно выполнить проверки 2-й и других строк. При выполнении указанных проверок следует проверить правильность расчета грузовых коэффициентов: 2.9. Строим эпюру поперечных сил Q по эпюре изгибающих моментов М путем последовательного вырезания стержней из заданной системы и рассмотрением их как шарнирно опертых статически определимых балок. По концам стержней прикладываем моменты, значения и направления которых выбираем из эпюры М в соответствующих сечениях. При наличии внешних сил прикладываем их на соответствующих участках. Определяем опорные реакции из условия статического равновесия и строим эпюру Q как обычно для статически определимых балок. Для заданной рамы (рис. 1.15) при построении эпюры поперечных сил для стойки вырезаем участок АВ и в сечении В прикладываем момент В 3 , 56 M P взятый из эпюры действительных моментов М (рис. 1.21, б). Определяем опорные реакции из рассмотрения равновесия 3 P и строим эпюру поперечных сил Q (рис. 1.23). Рис. 1.22 25 Аналогичным образом вырезаем горизонтальный стержень (ригель) ВС, рассматриваем его равновесие и строим эпюру Q для этого участка рамы (рис. 1.24). Переносим эпюры Q для отдельных стержней на задан ную систему. Окончательная эпюра поперечных сил для заданной рамы показана на рис 7.14, б. Построение эпюры поперечных сил по эпюре изгибающих моментов возможно и на основании дифференциальной зависимости: где α – угол наклона прямой, очерчивающей эпюру изгибающих моментов, к базовой линии (оси бруса). Поперечная сила считается положительной, если изгибающий момент возрастает в направлении оси. Для рассматриваемого примера: 2.10. Производим построение эпюры продольных сил N.
Рис. 7.16 Рис. 1.24 26 Для этого используем метод вырезания узлов (вырезаем только внеопорные узлы сечениями, бесконечно близкими к узлу) и рассматриваем их равновесие под действием внешней нагрузки (если такова приложена к узлам) и усилий в отброшенных (перерезанных) связях. Вырезаем узел В. Прикладываем к нему поперечные силы, взятые в соответствующих сечениях из эпюры Q (рис. 1.23, б). Узел должен находиться в равновесии (рис. 1.25) под действием поперечных и продольных сил (неизвестных). Определяем неизвестные продольные силы из условия статического равновесия. Эпюра продольных сил показана на рис. 1.23, в. 2.11. Проводим окончательную проверку правильности решения задачи. Система (рама), внеопорный узел или какая-нибудь часть системы должны находиться в равновесии под действием внешней нагрузки и усилий отброшенных (перерезанных) связей. Для заданного примера рассматриваем равновесие рамы, используя уравнения статики (рис. 1.26):

Условие равновесия выполняется. Примечания. 1. Если рама имеет несколько внеопорных узлов, то проверкой охватываются все узлы.

Библиографический список

Рис. 1.25 Рис. 1.26 27 2. При проверке равновесия внеопорного узла необходимо кроме внутренних усилий (M, Q, N), взятых в соответствующих сечениях, приложить еще внешние усилия (сосредоточенные силу и момент), если таковые приложены в узле. В нашем случае нагрузка в узле отсутствует.

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить при помощи уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения (уравнения перемещений учитывающие характер деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Можно составить столько дополнительных уравнений, сколько необходимо для решения задачи.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки - в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способы их составления рассмотрим на примерах решения различных задач расчета статически неопределимых систем.

Рассмотрим стержень, защемленный (заделанный) обоими концами и нагруженный силой Р (рис. 26.2, а). Под действием силы Р в заделках возникают реакции и требуется определить величины этих сил. Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) статика позволяет составить только одно уравнение равновесия:

Следовательно, для определения двух неизвестных необходимо составить дополнительно одно уравнение. Поэтому рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (т. е. степень его статической неопределимости равна единице). Для составления дополнительного уравнения отбросим нижнюю заделку и заменим ее влияние на стержень реакцией (рис. 26.2, б). Предположим, что действует только одна сила Р, а силы нет. Под действием силы Я деформируется только верхний участок стержня длиной а, в результате чего сечение, где приложена сила Р, перемещается вниз на величину Нижний участок стержня длиной b при этом не деформируется, а перемещается вниз, как жесткое тело, на такую же величину, на какую перемещается сечение, где приложена сила Р. В частности, на эту же величину перемещается вниз и нижний конец стержня.

Предположим теперь, что действует только сила а сила Р отсутствует.

Под действием силы деформируется весь стержень, в результате чего нижний конец стержня перемещается вверх на величину .

В действительности нижний конец стержня, будучи заделанным, не получает перемещения. Следовательно, перемещение его вниз, вызванное силой Р, должно быть равно перемещению вверх, вызванному силой откуда Зная величину из уравнения (46.2) можно найти .

После определения реакций вызванных действием силы Р, построение эпюры продольных сил и расчет на прочность производятся, как в случае статически определимой задачи.

Следует отметить, что направления неизвестных реакций, перемещений и т. д. можно принимать совершенно произвольно. В рассмотренном примере для реакций принято направление вверх. В результате расчета значения обеих реакции полечились положительными; это означает, что действительные направления их совпадают с принятыми предварительно. Если, например, для реакции принять направление вниз, то в результате решения дополнительного уравнения получим Знак «минус» укажет на то, что действительное направление реакции нижней заделки обратно принятому направлению ее, т. е. что она направлена вверх. Таким образом, окончательный результат расчета не зависит от того, какое направление реакции принято предварительно.

Рассмотрим статически неопределимую плоскую шарнирно-стержневую систему, состоящую из трех стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром D (рис. 27.2). Площадь поперечного сечения среднего стержня равна а крайних стержней

К шарниру D приложена вертикальная сила Р. Требуется определить усилия в стержнях от действия этой силы.

Так как соединения всех концов стержней шарнирные, то реакции шарниров А, В и С направлены вдоль осей стержней и, следовательно, пересекаются в точке D.

Число реакций равно трем. Но так как система и нагрузка симметричны относительно вертикальной оси, то реакции RA и равны между собой, а потому для решения задачи достаточно определить две реакции RA и

Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке, можно, как известно, составить два уравнения равновесия: и Однако этих двух уравнений недостаточно для определения реакций и RB, так как уже использовано условие симметрии, а это равносильно использованию уравнения равновесия Остается лишь одно уравнение равновесия, а число неизвестных усилий равно двум. Таким образом, для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение и, следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Уравнение равновесия имеет вид

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим перемещения системы.

В стержнях AD, BD и CD возникают продольные силы, равные соответственно Стержень BD под действием продольной силы удлинится на величину Стержень AD удлинится на величину Учитывая, что получаем

Шарнир D опустится на величину и займет положение D (рис. 27.2).

Для того чтобы выразить удлинение стержня AD через перемещение надо спроектировать это перемещение на направление оси стержня:

Здесь в связи с тем, что перемещение мало по сравнению с длинами стержней, угол ADB (рис. 27.2) принят равным а, т. е. углу ADB (между осями стержней AD и BD в недеформированной конструкции).

Подставим в уравнение (48.2) выражения и ДБ, полученные выше:

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия (47.2), получаем

Из выражений (49.2) видно, что с увеличением площадей поперечных сечений стержней AD и CD (т. е. с увеличением ) усилия в них увеличиваются, а усилие в стержне BD уменьшается.

Такой результат отражает особенности статически неопределимых систем, в которых повышение жесткостей некоторых элементов приводит к увеличению в них усилий и обычно к уменьшению усилий в остальных элементах. В статически же определимых системах распределение усилий в конструкции не зависит от жесткостей ее элементов.

Рассмотрим систему, состоящую из трех стержней: алюминиевой трубки стальной трубки 2, вставленной в алюминиевую, и чугунного сплошного стержня 3, расположенного внутри стальной трубки (рис. 28.2, а).

Обе трубки и чугунный стержень помещены между абсолютно жесткими плитами и сжимаются силой Р. Требуется определить напряжения в поперечных сечениях каждого из стержней, вызываемые силой Р.

Проведем горизонтальное сечение и составим уравнение равновесия для верхней части системы (рис. 28.2, б):

где - нормальные напряжения в поперечных сечениях соответственно алюминиевого, стального и чугунного стержней (сжимающие нормальные напряжения приняты здесь положительными); - площади поперечных сечений этих стержней.

Произведения представляют собой продольные силы в поперечных сечениях стержней.

Другие уравнения равновесия для рассматриваемой системы параллельных сил составить нельзя, а потому для определения трех неизвестных напряжений кроме уравнения равновесия (50.2), необходимо составить два дополнительных уравнения. В соответствии с этим рассматриваемая систета является два раза (дважды) статически неопределимой.

Для составления дополнительных уравнений используем то обстоятельство, что все три стержня зажаты между двумя жесткими плитами, а потому продольные деформации всех стержней одинаковы. Обозначим относительную продольную деформацию стержней.

На основании закона Гука

где - модули упругости материалов стержней.

Из этого равенства получаем два дополнительных уравнения:

Подставив значения из уравнений (52.2) в уравнение (50.2), найдем

где - приведенная к алюминию площадь поперечного сечёния всего составного стержня:

На рис. 28.2, б показан вид эпюры нормальных напряжений в рассматриваемой системе при соотношении между модулями упругости равном 1:3:2.

Приведенные площади используют при проектировании брусьев разнородной упругости, например железобетонных колонн, состоящих из стальных стержней (арматуры), расположенных в бетоне. Сцепление между арматурой и бетоном исключает возможность перемещения арматуры относительно окружающего ее бетона. Поэтому продольные деформации бетона и арматуры одинаковы, а отношение нормальных напряжений в арматуре к напряжениям в бетоне равно отношению модулей упругости этих материалов.

Рассмотрим теперь систему, изображенную на рис. 29.2, а, состоящую из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ААХ и ССХ (изготовленным из пластичной стали) при помощи шарниров.

Определим из условия прочности стальных стержней допускаемую Нагрузку предельную нагрузку и предельно допускаемую нагрузку .

Реакции и стержней шарнирно прикрепленных по концам, направлены вдоль осей этих стержней. Реакция опоры В имеет горизонтальную составляющую и вертикальную составляющую , как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещениям точки В бруса.

Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис. 29.2, б), а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение.

По условию задачи необходимо определить реакции стальных стержней ААХ и ССХ (равные продольным силам в поперечных сечениях этих стержней), а в определении реакций и нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакции и .

Таким является уравнение в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира В:

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформацию системы. На рис. 29.2, б штриховой линией показана ось бруса после деформации системы. Эта ось остается прямолинейной, так как брус является абсолютно жестким и, следовательно, не деформируется, а может лишь повернуться вокруг точки В. Шарниры А и С после деформации переходят в положения А и С соответственно, т. е. перемещаются по вертикали на величины . Из подобия треугольников ААВ и ССВ находим

Выразим удлинение стержня, и удлинение стержня через перемещения . Для этого спроектируем перемещения на направления стержней:

или с учетом равенства (56.2)

Но по закону Гука [по формуле (13.2)]

и, следовательно, на основании равенства (57.2)

Решив уравнение (58.2) совместно с уравнением равновесия (55.2), найдем значения продольных сил выраженные через нагрузку Q. Разделив силы на площади поперечных сечений соответственно, определим нормальные напряжения и в стальных стержнях. Приравняв затем большее из этих напряжений допускаемому напряжению найдем значение Q, равное величине допускаемой нагрузки

При увеличении нагрузки Q сверх значения напряжения в обоих стержнях сначала увеличиваются прямо пропорционально нагрузке. Если, например, и, следовательно, значение найдено из условия то при увеличении нагрузки до некоторой величины напряжения в первом стержне достигают предела текучести При этом напряжения во втором гтепжне остаются меньше

В процессе дальнейшего увеличения нагрузки напряжения в первом стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а во втором - возрастают, пока также не становятся равными Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности; дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину Q, вызывающую предельное состояние, обозначают и называют предельной нагрузкой.

Для определения значения составим уравнение равновесия в виде суммы моментов (относительно шарнира В) всех сил, действующих на жесткий брус в предельном состоянии, когда

Разделив на нормативный коэффициент запаса несущей способности получим величину предельно допускаемой нагрузки:

Если значение в формуле (59.2) принять равным значению [см. формулу (42.2)], то величина предельно допускаемой нагрузки будет больше величины допускаемой нагрузки полученной расчетом по допускаемым напряжениям.

Более подробно вопросы определения предельных и предельно допускаемых нагрузок рассмотрены в гл. 17.

Установим теперь метод определения монтажных напряжений в статически неопределимой конструкции, вызванных неточностью изготовления ее элементов. Рассмотрим для примера конструкцию, состоящую из трех стальных стержней с площадями поперечных сечений концы которых шарнирно прикреплены к двум жестким плитам (рис. 30.2, а). Все стержни должны были иметь одинаковую длину l, однако первый стержень был изготовлен на длиннее, а второй на 68 короче, чем по проекту весьма малы по сравнению с I). В связи с этим после монтажа в стержнях возникли так называемые начальные (или монтажные) напряжения. Определим эти напряжения.

Предположим, что после монтажа конструкции нижняя плита заняла положение, показанное на рис. 30.2, а штриховой линией, т. е. что при монтаже все стержни удлинились и, следовательно, все они растянуты.

Проведем через стержни сечение (рис. 30.2, о) и составим условия равновесия для нижней (отсеченной) части конструкции (рис. 30.2, б):

а) сумма проекций сил на вертикаль

б) сумма моментов сил относительно нижнего левого шарнира А

Из уравнения (61.2) видно, что усилия во втором и третьем стержнях имеют различные знаки, т. е. один из них растянут, а другой сжат.

Поэтому сделанное предположение о том, что все стержни растянуты, неверно; оно, однако, упрощает дальнейшие рассуждения и не вносит ошибки в результаты расчета.

В два уравнения равновесия (60.2) и (61.2) входят три неизвестных усилия. Следовательно, рассматриваемая конструкция один раз статически неопределима.

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим удлинения стержней при монтаже. Обозначим удлинения соответственно первого, второго и третьего стержней (рис. 30.2, а). Исходя из допущения об абсолютной жесткости плит заключаем, что все три нижних шарнира расположены на одной прямой. Это позволяет составить для подобных треугольников АСЕ и BCD (рис. 30.2, а) следующее соотношение:

Но из рис. 30.2, а следует, что

На основании закона Гука

Статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых не могут быть определены только из уравнений равновесия (уравнений статики).

Статически неопределимые конструкции имеют так называемые лишние связи. Они могут возникать в опорах, стержнях, других элементах. «Лишними» такие связи называются потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции, а обусловливаются требованиями к ее прочности и жесткости. Такие лишние связи называются внешними. Кроме того, лишние связи могут возникать вследствие особенностей самой конструкции. Например, замкнутый контур рамы (рис. 46, г) имеет по три неизвестных внутренних усилия в каждом сечении, т.е. всего шесть, и три из них являются «лишними». Такие лишние усилия называются внутренними. По числу внешних или внутренних «лишних» связей устанавливают степень статической неопределимости системы. Она равна разности между числом неизвестных, подлежащих определению, и числом уравнений статики. При одной «лишней» неизвестной система называется один раз, или однажды статически неопределимой, при двух - дважды статически неопределимой и т.д.

Конструкция, показанная на рис. 46, а , является один раз статически неопределимой, а конструкции, приведенные на рис. 46, б и в, - дважды статически неопределимыми, на рис. 46, г - три раза статически неопределимой конструкцией.

При решении статически неопределимых задач, кроме уравнений статики, используются уравнения, учитывающие деформации элементов конструкций.

Существует несколько методов решения статически неопределимых задач: метод сравнения перемещений, метод сил, метод перемещений.

Метод сил

При расчете статически неопределимых систем в качестве неизвестных принимаются силы.

Расчет по методу сил проводят в такой последовательности:

• 1. Устанавливают степень статической неопределимости.
• 2. Путем удаления «лишних» связей заменяют исходную систему статически определимой, называемой основной системой. Таких систем можно построить несколько, соблюдая при этом условие их гео

метрической неизменяемости.

• 3. Основную систему нагружают заданными внешними силами и «лишними» неизвестными усилиями, заменяющими действие удаленных связей, в результате чего получают эквивалентную систему.
• 4. Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации основной системы не отличались от деформаций исходной статически неопределимой системы. Для этого перемещения точек приложения «лишних» неизвестных по направлению их действия приравнивают нулю. Из полученных таким образом дополнительных уравнений определяют значения «лишних» неизвестных усилий. Определение перемещений соответствующих точек можно производить любым способом, однако лучше использовать при этом наиболее общий метод Мора.
• 5. После определения значений «лишних» неизвестных усилий выполняют определение реакций и построение эпюр внутренних усилий, подбор сечений и проверку прочности обычным способом.

Канонические уравнения метода сил

Дополнительные уравнения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по направлениям «лишних» неизвестных, удобно составлять в так называемой канонической форме, т.е. по определенной закономерности. Покажем это на примере решения простейшей статически неопределимой системы (рис. 47, а).

Выберем в качестве основной системы консоль, отбросив шарнирную опору. Эквивалентную систему получим после приложения ее внешней силы Т 7 и «лишней» неизвестной Х (рис. 47, б).

Каноническое уравнение , выражающее равенство нулю перемещения точки В от сил Fи Х, будет

Из уравнения имеем

Для системы, имеющей две «лишние» связи, система канонических уравнений имеет вид:

• 8 11 Х 1 + б 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

Перемещения А[р И б [у, входящие в канонические уравнения, определяются по методу Мора.

Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, вычисления перемещений удобно производить по способу Верещагина.

Например, для задачи, изображенной на рис. 47, перемножая эпюры (рис. 48), получим коэффициенты канонического уравнения:

1 2 I 3 1 I /I 2 1 5 Я1 3

Е]Ь ЛЛ =-/ / -/ = -, Е]А ЛР = -------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 Е]

Получим Хл - - = - Е.

Определив силу Х, мы фактически нашли реакцию опоры Яв. Далее задача определения внутренних силовых факторов может быть решена, как обычно, с помощью метода сечений.

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

1. Схему вычерчиваем в масштабе . Нумеруем стержни.

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции R А и Н А . В стержнях 1 и 2 возникают усилия N 1 и N 2 . Применим . Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N 1 и N 2 направим от сечения.

Составляем уравнения равновесия

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1 . Значит, система , и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение . Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы . Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы .

Схема деформаций

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС 1 и АВВ 1 . Из подобия треугольников АВВ 1 и АСС 1 запишем соотношение:

, где ВВ 1 =Δℓ 1 (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС 1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

Из рисунка видно, что СС 2 = СС 1 ·cos (90º-α )= СС 1 ·sinα .

Но СС 2 = Δℓ 2 , тогда Δℓ 2 = СС 1 ·sinα , откуда:

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью . При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

Тогда будет:

Сокращаем обе части на Е , подставляем числовые значения и выражаем N 1 через N 2

Подставим соотношение (6) в уравнение (3) , откуда найдем:

N 1 = 7,12кН (растянут),

N 2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней , и в верхней опоре. Покажем их произвольно , это реакции R A и R В . Составим уравнение статики .

∑у =0 R A - F 1 + F 2 - R В =0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно , значит задача 1 раз статически неопределима , и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций . В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора , т.е. Δℓ =Δ , это условие совместности деформации.

1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно , двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию . Направляем N от сечения .

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N 1 = - R А

N 2 = 120 - R А

N 3 = 120 - R А

N 4 = 30- R А

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации . Имеем 4 участка, значит

Δℓ 1 + Δℓ 2 + Δℓ 3 + Δℓ 4 = Δ (величина зазора).

Используя формулу для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций , — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м

Е – модуль упругости, Е =2·10 5 МПа=2·10 8 кПа .

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию R А .

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил .

N 1 =- R А = -47,5кН

N 2 =120 - R А = 72,5кН

N 3 =120 - R А = 72,5кН

N 4 =30- R А = -17,5кН.

5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры

Строим эпюру нормальных напряжений.

Проверяем прочность .

σ max = 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена .

1. Вычисляем перемещения , используя формулу для деформаций.

Идем от стены А к зазору .

Получили величину ω 4 , равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений .

На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м 3). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·10 5 МПа, А = 11 см 2 , а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения . Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1 . Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как Оно будет вызываться собственным весом участка а+в

Тогда полное перемещение сечения 1-1 :

Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Q доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ; 3) найти предельную грузоподъемность системы, если предел текучести 4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см 2

Данная система один раз статически неопределима . Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

(1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:(2)

По закону Гука имеем:

Длины стержней : Тогда получим:

Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

Определяем напряжение в стержнях:

В предельном состоянии: Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

При сравнении видим увеличение нагрузки:

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.
Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части

Составим уравнение статики: N C + N M - P= 0 , N C + N M = P (1)

Задача статически неопределима. Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы : (2) или Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне:

(3) Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости . При Е С = 2·10 5 МПа, Е М = 1·10 5 МПа:

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2 . 10 5 МПа, А = 25 см 2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим уравнение статики: ∑y = 0; С + В – Р = 0; (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 мм (2);

Чтобы найти абсолютную деформацию , необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С , на втором разности (С- Р) . Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций: (3)

Подставляем выражение (3 ) в выражение (2) и находим: С = 150 кН , а из (1) B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение .

Точки С, D и К переместятся в положения С 1 , D 1 и К 1

Согласно картине деформирования СС 1 =Δℓ 1 , DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2 , KK 1 = Δℓ 3 , при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие , а стержень 2 – растяжение.

В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:

Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС 1 и BDD 1 , треугольников ВСС 1 и BKK 1 следует:

Согласно закона Гука абсолютные деформации:

Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия, получим:

N 1 =14,3 кН (стержень сжат), N 2 =71,5 кН (стержень растянут), N 3 =42,9 кН (стержень сжат).

Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения:
Задача решена.

Ступенчатый медный стержень нагревается от температуры t Н =20ºС до t К =50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.

Уравнение совместности деформаций следует из условия, что перемещения внешних связей равны 0 — W В =0 или W К =0. Таким образом:

Откуда:

В результате R B =20723Н.

Нормальные силы и напряжения на участках:

Согласно результатам расчетов σ max =│69,1│MПа , при этом σ max < σ adm , (69,1<80). Следовательно, условие прочности стержня выполняется.

Расчет стержня с зазором. Для стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня:

В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.

Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня :

Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации :

Определим нормальные (продольные) силы , идем от стены к зазору:

Подставим все найденные значения в дополнительное уравнение:

После подстановки исходных данных и сокращений:

Из уравнения равновесия получаем:

Таким образом, R В =40,74 кН, R К =9,26 кН.

Расчет нормальных сил:
Строим эпюру N

Расчет нормальных напряжений:
Строим эпюру нормальных напряжений

Расчет перемещений характерных сечений.

Принимается правило знаков для перемещений: вниз – положительные, вверх – отрицательные.
Строим эпюру перемещений.

Дана статически неопределимая стержневая система (деталь ВСD — жесткая). Требуется подобрать площади поперечных сечений стержней 1 и 2.

Обозначим усилия в стержнях 1 и 2 соответственно N 1 и N 2.

Покажем схему системы с усилиями N 1 и N 2

Составим для данной системы уравнение равновесия, исключая из рассмотрения реактивные силы в опоре С Данное уравнение содержит два неизвестных: N 1 и N 2 . Следовательно, система один раз статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение. Это уравнение деформаций. Покажем систему в деформируемом состоянии под действием нагрузки:

Из анализа системы в деформируемом состоянии следует, что:

Поскольку , и учитывая, что можно записать: Последняя запись и есть необходимое дополнительное уравнение деформаций .

Запишем значения абсолютных деформаций стержней:

Тогда с учетом исходных данных дополнительное уравнение примет вид:

Принимая во внимание уравнение равновесия , получим систему:

Из решения этой системы уравнений следует:

N 1 =48кН (стержень растянут), N 2 =-36,31кН (стержень сжат) .

Согласно условию прочности стержня 1:

тогда с учетом условия А 1 =1,5А 2 по заданию, получаем

Согласно условию прочности стержня 2 :Тогда

Окончательно принимаем:

Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. С кинематической точки зрения это такие стержневые системы, число степеней свободы которых меньше числа связей. Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы. На рис.8.14 приведены примеры статически неопределимых балок и рам.

Балка, изображенная на рис.8.14б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой  из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.

Прежде, чем приступать к расчету статически неопределимых систем, необходимо научиться определять степень их статической неопределимости. Одним из наиболее простых правил определения степени статической неопределимости является следующее:

, (8.3)

где  число связей, накладываемых на конструкцию;  число возможных независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.

Воспользуемся уравнением (8.3) для определения степени статической неопределимости систем, изображенных на рис 8.14.

Балка, изображенная на рис 8.14а, является один раз статически неопределимой, так как имеет три связи на левой опоре и одну связь на правой опоре. Независимых уравнений равновесия для такой балки можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости балки
. Неразрезная балка, изображенная на рис 8.14б также один раз статически неопределима, так как обладает двумя связями на левой опоре и по одной связи на промежуточной опоре и на правой опоре – всего четыре связи. Таким образом, степень ее статической неопределимости
.

Рама, изображенная на рис. 8.14в, три раза статически неопределима, так как обладает шестью связями в опорах. Независимых уравнений равновесия для этой рамы можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости для этой рамы из уравнения (8.3) равна:
. Степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис.8.18,г равна четырем, так как рама обладает семью связями на опорах. Следовательно, степень ее статической неопределимости равна
.

Правило (8.3) для определения степени статической неопределимости применяют только для простых систем. В более сложных случаях это правило не работает. На рис 8.15 представлена рама, степень статической неопределимости которой, пользуясь уравнением (8.3), определить невозможно.

Внешне, система, приведенная на рис 8.15, пять раз статически неопределима. Это легко установить с помощью уравнения (8.3): из шести внешних связей (три в сечении А, три в сечении В и два в сечении С) вычитаются три возможные уравнения равновесия. Однако, эта система обладает еще и внутренней статической неопределимостью. Учесть внутреннюю статическую неопределимость с помощью уравнения (8.3) нельзя. Прежде, чем перейти к определению степени статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15, введем несколько определений. Первое из этих определений включает в себя понятие о простом шарнире.

Простым называется шарнир, соединяющий два стержня (Рис.8.16).

Рис.8.16. Простой шарнир

Шарнир, соединяющий несколько стержней, называется сложным (Рис.8.17).

Рис.8.17. Сложный шарнир

Число простых шарниров, которые могут заменить один сложный шарнир, определим из формулы:

, (8.4)

где
 число стержней, входящих в узел.

Пересчитаем сложный шарнир, изображенный на рис.8.17 в число простых шарниров с помощью формулы (8.4):
. Таким образом, сложный шарнир, изображенный на рис.8.17, можно заменить четырьмя простыми шарнирами.

Введем еще одно понятие  замкнутый контур .

Докажем теорему: любой замкнутый контур три раза статически неопределим.

Для доказательства теоремы рассмотрим замкнутый контур, нагруженный внешними силами (Рис.8.18).

Разрежем замкнутый контур вертикальным сечением и покажем внутренние силовые факторы, возникающие в месте сечения. В каждом из сечений возникают три внутренних фактора: поперечная сила , изгибающий момент
и продольная сила
. Всего на каждую из отсеченных частей контура кроме внешних сил действуют шесть внутренних факторов (Рис.8.18,б,в). Рассматривая равновесие одной из отсеченных частей, например, левой (Рис.8.18,б), выясняем, что задача три раза статически неопределима, так как для отсеченной части можно составить всего три независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил, действующих на отсеченную часть, шесть. Таким образом, степень статической неопределимости замкнутого контура равна
. Теорема доказана.

Теперь, используя понятие о простом шарнире и замкнутом контуре, можно сформулировать еще одно правило для определения степени статической неопределимости:

, (8.5)

где
 число замкнутых контура;
 число шарниров в пересчете на простые (8.4).

Пользуясь уравнением (8.5), определим степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15. Рама имеет пять контуров
, включая контур, образуемый опорными стержнями. Шарнир в узле D простой, так как соединяет два стержня. Шарнир в сечении К – сложный, так как соединяет четыре стержня. Число простых шарниров, которые могли бы заменить шарнир в сечении К, равно по формуле (8.4):
. Шарнир С также является сложным, так как соединяет три стержня. Для этого шарнира
. Кроме того, система имеет еще два простых шарнира, с помощью которых крепится к основанию. Таким образом, число простых шарниров в системе равно
. Подставляя число замкнутых контуров
и число простых шарниров
в формулу (8.5) определяем степень статической неопределимости рамы:
. Таким образом, изображенная на рис. 8.15 рама, семь раз статически неопределима. А это означает, что для расчета подобной системы необходимо составить дополнительно к трем уравнениям равновесия семь уравнений совместности деформаций. Решая полученную таким образом систему из 10 уравнений относительно неизвестных, входящих в эти уравнения, можно определить как величины реакций во внешних связях, так и внутренние усилия, возникающие в раме. Процедуру решения этой задачи можно несколько упростить, исключив из системы уравнений уравнения равновесия. Однако такой подход требует применения специальных методов решения, одним из которых является метод сил.