Последовательности прямоугольных импульсов. Спектр последовательности прямоугольных импульсов Спектр двух прямоугольных импульсов
Классификация сигналов и их параметры.
Электрические сигналы представляют собой электрические процессы, используемые для передачи или хранения информации.
Сигналы можно разделить на два больших класса: детерминированные и случайные. Детерминированными называются сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени можно предсказать с вероятностью, равной единице и которые задаются в виде некоторой определенной функции времени. Приведем несколько характерных примеров: гармонический сигнал с известной амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 а ); последовательность прямоугольных импульсов с известным периодом следования T , длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 б ); последовательность импульсов произвольной формы с известнымидлительностью t и, амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 в ). Детерминированные сигналы не содержат никакой информации.
Случайные сигналы представляют собой хаотические функции времени, значения которых заранее неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице (одиночный импульс с длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 г ) речь, музыка в выражении электрических величин). К случайным сигналам относятся также шумы.
Детерминированные сигналы, в свою очередь, подразделяются на периодические, для которых выполняется условие S (t )=S (t+kT ), где T – период, k -любое целое число, а под S (t ) понимается изменяющиеся со временем ток, напряжение или заряд (рис. 1.1 а, б, в ).
Очевидно, что к непериодическим относится любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие S (t )¹S (t+kT ).
Простейшим периодическим сигналом является гармонический сигнал вида 
.
Любой сложный периодический сигнал можно разложить на гармонические составляющие. Ниже такое разложение будет проведено для нескольких конкретных видов сигналов.
Гармонический сигнал высокой частоты, в котором путем модуляции заложена информация, называется радиосигналом (рис. 1.1 д ).
Периодические сигналы.
Любой сложный периодический сигнал S
(t
)=S
(t+kT
) (рис.1.2), заданный на интервале значений t
от –¥ до +¥, может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов. Это представление осуществляется в виде ряда Фурье, если только заданная периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле:
1. На любом конечном интервале времени функция S (t ) должна быть непрерывна или иметь конечное число разрывов первого рода.
2. В пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.
Обычно все реальные радиотехнические сигналы удовлетворяют этим условиям. В тригонометрической форме ряд Фурье имеет вид (1.1)
где постоянная составляющая равна 
(1.2)
а коэффициенты a n ,
и b n
при косинусоидальных и синусоидальных членах разложения определяются выражениями 
(1.3)
Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n-ой
гармоники выражаются через коэффициенты a n ,
и b n
следующим образом 
(1.4)
При использовании комплексной формы записи выражение для сигнала S(t) принимает вид 
. Здесь коэффициенты 
, называемые комплексными амплитудами, равны 
и связаны с величинами а n и b n формулами: при n>0, и при n<0. С учётом обозначений 
.
Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, w, 2w, 3w …, т. е. имеет линейчатый или дискретный характер (рис.1.3). Использование рядов Фурье в сочетании с принципом суперпозици является мощным средством анализа влияния линейных систем на прохождение через них различного вида периодических сигналов.
При разложении периодической функции в ряд Фурье, следует учитывать симметрию самой функции, т. к. это позволяет упростить расчеты. В зависимости от вида симметрии представленные рядом Фурье функции могут:
1. 
Не иметь постоянной составляющей если площадь фигуры для положительного полупериода равна площади фигуры для отрицательного полупериода.
2. Не иметь четных гармоник и постоянной составляющей, если значения функции повторяются через половину периода с обратным знаком.
Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности.
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов изображена на рис. 1.4. Постоянная составляющая ряда Фурье определяется из выражения и для данного случая равна 
.
Амплитуда cos-составлящей а n
равна
, а амплитуда sin-составляющей b n
равна 
.
Амплитуда n
-ой гармоники 
Название образовательной организации:
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»
Год и место создания работы: 2016 год, цикловая комиссия естественных и общепрофессиональных дисциплин.
Методические указания к выполнению практической работы по дисциплине «Теория электросвязи»
«Расчет и построение спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов»
для студентов 2 курса специальностей:
11.02.11 Сети связи и системы коммутации
11.02.09 Многоканальные телекоммуникационные системы
очной формы обучения
Цель работы: закрепить знания, полученные на теоретических занятиях, выработать навыки расчета спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Литература: П.А. Ушаков «Цепи и сигналы электросвязи». М.: Издательский центр «Академия», 2010, с.24-27.
1. Оснащение:
1.Персональный компьютер
2.Описание практической работы
2. Теоретический материал
2.1. Периодический сигнал произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, это называется спектральным разложение сигналом.
2.2 . Гармониками называются колебания, частоты которых в целое число раз больше частоты следования импульсов сигнала.
2.3. Мгновенное значение напряжения периодического сигнала производной формы может быть записано следующим образом:
Где постоянная составляющая, равная среднему значению сигнала за период;
Мгновенное значение синусоидального напряжения первой гармоники;
Частота гармоники, равная частоте следования импульсов;
Амплитуда первой гармоники;
Начальная фаза колебания первой гармоники;
Мгновенное значение синусоидального напряжения второй гармоники;
Частота второй гармоники;
Амплитуда второй гармоники;
Начальная фаза колебания второй гармоники;
Мгновенное значение синусоидального напряжения третий гармоники;
Частота третий гармоники;
Амплитуда третий гармоники;
Начальная фаза колебания третий гармоники;
2.4. Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнала. На практике чаще всего используется диаграмма амплитуд
Если сигнал представлен собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, то постоянная составляющая равна
где Um - амплитуда напряжения ПППИ
s - скважность сигнала (S - T/t);
T - период следования импульсов;
t - длительность импульсов;
Амплитуды всех гармоник определяются выражением:
Umk = 2Um | sin kπ/s | / kπ
где k - номер гармоника;
2.5. Номера гармоника, амплитуды которых равны нулю
где n - любое целое число 1,2,3…..
Номер гармоники, амплитуда которой первый раз обращается в нуль, равен скважности ПППИ
2.6. Интервал между любыми соседними спектральными линиями равен частоте первой гармоники или частоте следования импульсов.
2.7 Огибающая амплитудного спектра сигнала (на рис. 1 показанная пунктирной линией)
выделяет группы спектральных линий называемых лепестками. Согласно рис. 1 каждый лепесток огибающей спектра содержит число линий, равное скважности сигнала.
3 . П орядок выполнения работы .
3.1. Получить вариант индивидуального задания, который соответствует номеру в списке журнала группы (см. приложение).
3.2. Ознакомиться с примером расчета (см. раздел 4)
4. Пример
4.1. Пусть период следования ПППИ Т=.1мкс, длительность импульсов t=0,25 мкс, амплитуда импульса =10В.
4.2. Расчет и построение временной диаграммы ПППИ.
4.2.1 . Для построения временной диаграммы ПППИ необходимо знать период следования импульсов Т, амплитуду и длительность импульсов t, которые известны из условия задачи.
4.2.2. Для построения временной диаграммы ПППИ необходимо выбрать масштабы по осям напряжений и времени. Масштабы должны соответствовать числам 1,2 и 4, умноженным на 10 n -(где n=0,1,2,3...). Ось времени должна занимать примерно 3/4 ширины листа и на ней следует разместить 2-3 периода сигнала. Вертикальная ось напряжений должна быть равна 5-10 см. При ширине листа 20 см длинна оси времени должна равна примерно 15 см. На 15-ти см удобно разместить 3 периода, при этом на каждый период будет приходиться L 1 =5см. Так как
Mt=T/Lt=1мкс/5см= 0,2 мкс/см
Полученный результат не противоречит выше указанным условиям. На оси напряжений удобно взять масштаб Мu=2В/см (см.рис.2).
4.3.Расчет и построение спектральной диаграммы.
4.3.1.Скважность ПППИ равна
4.3.2. Так как скважность S=4, то следует рассчитывать 3лепестка, т.к. 12 гармоник.
4.3.3.Частоты гармонических составляющих равны
Где к- номер гармоники, l- период ПППИ.
4.3.4. Амплитуды составляющих ПППИ равны
4.3.5. Математическая модель ПППИ напряжения
4.3.6.Выбор масштабов.
Ось частот располагается горизонтально и при ширине листа 20см должна иметь длину около 15 см. Так как на оси частот нужно показать самую высокую частоту 12 МГц удобно взять масштаб по этой оси Mf=1MГц/см.
Ось напряжений располагается вертикально и должна иметь длину 4-5 см. Так как из оси напряжений нужно показать самое большое напряжение
Удобно взять масштаб по этой оси M=1В/см.
4.3.7.Спектральная диаграмма показана на рис.3
Задание:
T=0.75мс; τ=0.15мс 21.T=24мкс; τ=8мкс
T=1.5 мкс; τ=0.25мкс 22. T=6.4мс; τ=1.6мс
T=2.45мс; τ=0.35мс 23. T=7мс; τ=1.4мс
T=13.5мкс; τ=4.5мкс 24. T=5.4мс; τ=0.9мс
T=0.26мс; τ=0.65мкс 25. T=17.5мкс; τ=2.5мкс
Т=0.9мс; τ=150мкс 26. T=1.4мкс; τ=0.35мкс
Т=0.165мс; τ=55мкс 27. T=5.4мкс; τ=1.8мкс
Т=0.3мс; τ=75мкс 28. T=2.1мс; τ=0.3мс
Т=42.5мкс; τ=8.5мкс 29. T=3.5мс; τ=7мс
Т=0.665мс; τ=95мкс 30. T=27мкс; τ=4.5мкс
Т=12.5мкс; τ=2.5мкс 31. T=4.2мкс; τ=0.7мкс
Т=38мкс; τ=9.5мкс 32.T=28мкс; τ=7мкс
Т=0.9мкс; τ=0.3мкс 33. T=0.3мс; τ=60мкс
Т=38.5мкс; τ=5.5мкс
Т=0.21мc; τ=35мс
Т=2.25мс; τ=0.45мс
Т=39мкс; τ=6.5мкс
Т=5.95мс; τ=0.85мс
Т=48мкс; τ=16мкс
В данном выражении
 |
функция sinc, как показано на рис. 2.6, достигает максимума (единицы) при у = 0и стремится к нулю при у ® ±¥, осциллируя с постепенно уменьшающейся амплитудой. Через нуль она проходит в точках у = ±1, ±2, …. На рис. 2.7, а как функция отношения п/Т 0 показан амплитудный спектр последовательности импульсов |с n |, а на рис. 2.7, б изображен фазовый спектр q n . Следует отметить, что положительные и отрицательные частоты двустороннего спектра - это полезный способ математического выражения спектра; очевидно, что в реальных условиях воспроизвести можно только положительные частоты.
Отношение
Идеальная периодическая последовательность импульсов включает все гармоники, кратные собственной частоте. В системах связи часто предполагается, что значительная часть мощности или энергии узкополосного сигнала приходится на частоты от нуля до первого нуля амплитудного спектра (рис. 2.7, а ). Таким образом, в качестве меры ширины полосы последовательности импульсов часто используется величина 1/T (где Т - длительность импульса). Отметим, что ширина полосы обратно пропорциональна длительности импульса; чем короче импульсы, тем более широкая полоса с ними связана. Отметим также, что расстояние между спектральными линиями Df = 1/Т 0 обратно пропорционально периоду импульсов; при увеличении периода линии располагаются ближе друг к другу.
Таблица 2.1. Фурье-образы
| x (t ) | X (f ) |
| d(t ) | |
| d(f ) | |
| cos 2 pf 0 t | /2 |
| sin 2 pf 0 t | /2 |
| d(t - t 0) | |
| d(f - f 0) | |
| , a >0 | |
 |  |
 | |
| exp(-at )u (t ), a >0 | |
| rect(t / T ) | T sinc fT |
| W sinc Wt | rect (f / W ) |
 |
sinc x
=
Таблица 2.2 Свойства преобразования Фурье f )
С выхода источника сообщений поступают сигналы, несущие информацию, а также тактовые, используемые для синхронизации работы передатчика и приемника системы передачи. Информационные сигналы имеют вид непериодической, а тактовые- периодическойпоследовательности импульсов.
Для правильной оценки возможности передачи таких импульсов по каналам связи определим их спектральный состав. Периодический сигнал в виде импульсов любой формы можно разложить в ряд Фурье согласно (7).
Для передачи по воздушным и кабельным линиям связи применяются сигналы различной формы. Выбор той или иной формы зависит от характера передаваемых сообщений, частотного спектра сигналов, частотных ивременных параметров сигналов. Большое применение в технике передачи дискретных сообщений получили сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам.
Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и
гармонических составляющих периодических
прямоугольных импульсов (рисунок 4,а)
длительностью
и периодом.
Поскольку сигнал является четной
функцией времени, то в выражении (3) все
четные гармонические составляющие
обращаются в нуль (
=0),
а нечетные составляющие принимают
значения:
(10)
Постоянная составляющая равна
(11)
Для сигнала 1:1 (телеграфные точки) рисунок 4а:
,
.
(12)
Модули амплитуд спектральных составляющих
последовательности прямоугольных
импульсов с периодом
приведены на рис. 4,б. По оси абсцисс
отложены основная частота повторения
импульсов
()
и частоты нечетных гармонических
составляющих
,
и т.д. Огибающая спектра изменяется по
закону.
При увеличении периода ,по сравнению с длительностью импульса,число гармонических составляющих в спектральном составе периодического сигнала увеличиваются. Например, для сигнала с периодом (рисунок 4,в)получаем, что постоянная составляющая равнаи
В полосе частот от нуля до частотырасполагается пять гармоническихсоставляющих (рисунок 4,г), в то время как прилишь одна.
При дальнейшем
увеличении периода повторения импульсов
число гармонических составляющих
становится все больше и больше. В
предельном случае когда
сигнал становится непериодической
функцией времени, число его гармонических
составляющих в полосе частот от нуля
до частотыувеличивается
до бесконечности; расположены они будут
набесконечноблизких
расстояниях по частоте;спектр непериодического
сигналастановится
непрерывным.
Рисунок 4
2.4 Спектр одиночного импульса
Задан одиночный видеоимпульс (рисунок 5):
Рисунок 5
Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Для этого мысленно дополним одиночный импульс такими же импульсами, периодически следующими через некоторый интервал времени , и получим изученную ранее периодическую последовательность:
Представим одиночный импульс как сумму периодических импульсов с большим периодом .
,
(14)
где - целые числа.
Для периодического колебания
.
(15)
Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим к бесконечности период повторения: . При этом, очевидно:
,
(16)
Обозначим
.
(17)
Величиной называется спектральная характеристика (функция) одиночного импульса (прямое преобразование Фурье). Она зависит только от временного описания импульсаи в общем виде является комплексной:
,
(18) где
; (19)
; (20)
,
где
-
модуль спектральной функции
(амплитудно-частотная характеристика
импульса);
-
фазовый угол, фазо-частотная характеристика
импульса.
Найдем для одиночного импульса по формуле (8), используя спектральную функцию:
.
Если , получим:
.
(21)
Полученное выражение называется обратным преобразованием Фурье.
Интеграл Фурье определяет импульс в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах.
На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладает одиночный импульс.
Полная энергия импульса (энергия, выделяемая на активном сопротивлении Ом) равна
(22)
Изменяя порядок интегрирования, получим
.
Внутренний интеграл есть спектральная
функция импульса
,
взятая при аргументе -,
т.е. представляет собой комплексно
сопряженную свеличину:
Следовательно
Квадрат модуля (произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).
В этом случае условно говорят, что спектр импульса является двусторонним, т.е. размещается в полосе частот от до.
Приведенное соотношение (23), устанавливающее связь между энергией импульса (на сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной функции известно под названием равенство Парсеваля.
Оно утверждает, что энергия, заключенная в импульсе , равна сумме энергий всех составляющих его спектра. Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется.
Так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования , то удвоив значение интеграла можно ввести интегрирование в пределах от 0 до:
.
(24)
При этом говорят, что спектр импульса размещается в полосе частот от 0 до и называется односторонним.
Подынтегральная величина в (23) называется энергетическим спектром (спектральная плотность энергии) импульса
Она характеризует распределение энергии по частоте, и её значение на частоте равно энергии импульса, приходящейся на полосу частот, равной 1 Гц. Следовательно, энергия импульса есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот отдо.Иначе говоря, энергия равна площади, заключённой между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала и осью абсцисс.
Для оценки распределения энергии по спектру пользуются относительной интегральной функцией распределения энергии (энергетической характеристикой)
,
(25)
где
-
энергия импульса в заданной полосе
частот от 0 до,
которая характеризует долю энергии
импульса, сосредоточенную в интервале
частот от 0 до.
Для одиночных импульсов различной формы выполняются следующие закономерности:
Спектральное представление временных функций широко используется в теории связи. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используется различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательности прямоугольных и радиоимпульсов и т. д. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют вычислительные сигналы в форме единичной функции и импульсной функции (функции Дирака). Определим спектры наиболее распространенных типовых сигналов.
11.1 Спектр последовательности прямоугольных импульсов
Пусть имеется периодическая последовательность импульсов прямоугольной формы периодом Т длительностью импульсов t и и амплитудой А. Аналитическое выражение функции , описывающей импульс на отрезке , имеет вид
(11.1)
График периодической последовательности импульсов изображен на рисунке 11.1.
Рисунок 11.1
Данная функция является четной, так как ее график симметричен относительно оси ординат. Тогда коэффициенты Фурье это функции вычисляются по формулам (КФТ2), где .
Число представляет собой среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей. Частоту называют основной, или первой гармоникой, а частоты k высшими гармониками, где k=2,3,4,…
Построим амплитудный спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов. Так как функция периодическая, то ее амплитудный спектр является линейчатым. Обозначим через расстояние между любыми соседними гармониками. Очевидно, оно равно . Амплитуда k-ой гармоники согласно (11.2) имеет вид
(11.3)
Найдем отношение между периодом Т и длительностью импульса , при котором амплитуда k-ой гармоники обращается в нуль.
А 2 ≈32В, А 3 ≈15В, А 4 ≈0, А 5 ≈6,36В, А 6 ≈10,5В, А 7 ≈6,36В, А 8 ≈0, А 9 ≈4,95В, А 10 ≈6,37В.
Полученный в результате расчета амплитудный спектр приведен на рисунке 11.2.
Рисунок 11.2
Такой спектр называют линейчатым или дискретным спектром.
Аналогично рассчитаны и построены спектры для q=8 и q=16. Они приведены на рисунках 11.3 и 11.4 соответственно.
Рисунок 11.3
Рисунок 11.4
Из рисунка видно, что чем больше скважность прямоугольных импульсов, тем меньше значение имеет амплитуда первой гармоники, но тем медленнее убывает спектр.
11.2 Спектр одиночного прямоугольного импульса
Рассмотрим Ф (11.1) для случая, когда Т→∞, то есть периодическая последовательность импульсов вырождается в одиночный прямоугольный импульс, длительностью t u .
Аналитическое выражение для этого импульса запишется в виде:
График этой функции изображен на рисунке 11.5.
Рисунок 11.5
В этом случае частота первой гармоники и расстояние между гармониками становится равным 0, следовательно, спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга. Такой спектр называют сплошным. Отсюда следует важнейшее правило: периодические сигналы порождают дискретные спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).
Спектр прямоугольного одиночного импульса можно найти непосредственно из прямого преобразования Фурье (10.1)
