Определяем из условия прочности диаметр вала. Решение типовых задач по сопромату Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения
Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.
На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .
М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.
Решение
Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).
Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.
Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.
Для участка с кольцевым сечением:
Для вала сплошного поперечного сечения
Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:
d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;
d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.
Наибольшее действующее на этих участках напряжение:
Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).
2. Кручение.
2.4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении.
Имея формулы для определения деформаций и зная условия закрепления стержня, нетрудно определить угловые перемещения сечений стержня и построить эпюры этих перемещений. Если имеется вал (т.е. вращающийся стержень), у которого нет неподвижных сечений, то для построения эпюры угловых перемещений принимают какое-либо сечение за условно неподвижное.
Рассмотрим конкретный пример (рис. 2.12, а). На рис. 2.12, б дана эпюра Тк .
Примем сечение в точке А за условно неподвижное. Определим поворот сечения В по отношению к сечению А.
Где ТАВ - крутящий момент на участке АВ; lАВ - длина участка АВ.
Примем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справа налево) против часовой стрелки. В данном случае будет положительным. В принятом масштабе отложим ординату (рис. 2.12, в). Полученную точку К соединяем прямой точкой Е, так как на участке АВ углы изменяются по закону прямой линии . Вычислим теперь угол поворота сечения С по отношению к сечению В. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем
Так как сечение В не неподвижное, то угол поворота сечения С по отношению к сечению А равен
Угол закручивания может получиться положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.
Предположим, что в данном случае угол получился положительным. Тогда, отложив эту величину в принятом масштабе вверх от эпюры, получим точку М. Соединяя точку М с точкой К, получим графмк углов закручивания на участке ВС. На участке CD скручивания не происходит, так как крутящие моменты на этом участке равны нулю, поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачивается сечение С. Участок MN эпюры здесь горизонтален. Читателю предлагается убедиться, что если принять за неподвижное сечение В, то эпюра углов закручивания будет иметь вид, представленный на рис. 2.12, г.
Пример 2.1. Определить диаметр стального вала, вращающегося с угловой скоростью W = 100 рад/с и передающего мощность N = 100 кВт. Допускаемо напряжение = 40 МПа, допускаемый угол закручивания = 0,5 град/м, G = 80000 МПа.
Решение. Момент передаваемый валом, определяется по формуле
T = N/W = 100 000 / 100 = 1000 Н * м
Крутящий момент во всех поперечных сечениях вала одинаков
Tк = Т = 1000 Н * м = 1 кН * м = 0,001 МН * м.
Диаметр вала по прочности определяем по формуле (2.15)
По формуле (2.24) определяем диаметр вала из условия жесткости
Диаметр вала в данном случае определяется из условия жесткости и должен быть принят равным d = 52 мм.
Пример 2.2. Подобрать размеры сечения трубчатого вала, передающего момент Т = 6 кН * м, при соотношении диаметров с = d/D = 0,8 и допускаемом напряжении = 60 МПа. Сравнить вес этого трубчатого вала с валом равной прочности сплошного сечения.
Ответ. Размеры трубчатого вала: D = 9,52 см, d = 7,62 см. Плошадь сечения Ат = 25,9 квадратных см. Диаметр вала сплошного сечения d1 = 8 см. Площадь сечения Ас = 50,2 квадратных см. Масса трубчатого вала составляет 51% от массы сплошного вала.
Кручение стержня круглого сечения – условие задачи
К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема
Рис. 3.8
Решение задачи кручение стержня круглого сечения
Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке
Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).
Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.
Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.
Строим эпюру крутящих моментов
Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».
Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.
Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.
Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков
кН·м.
Сечения 2 – 2 и 3 – 3:
Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда
кН·м.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим
Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.
Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.
Определяем диаметр вала из условия прочности
Условие прочности при кручении имеет вид
,
где 
– полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).
Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: 
кН·см.
Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле
см.
Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.
Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания
Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а 
– полярный момент инерции. Получим
Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:
рад;
рад;
рад;
рад.
Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда
Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.
Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения
Условие задачи на кручение "круглого" стержня
Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).
Требуется:
· построить эпюру крутящих моментов;
· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;
· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения
Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения
| Номер схемы | ||||||||
|
Определить из условий прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала. Схема нагружения вала дана на рис. 1.
Исходные данные:
Мкр=0,2 кН·м.
a=30 мм.; b=60 мм.; c=100 мм.
D1=70 мм.; D2=120 мм.
[?]p=120 МПа.
Требуется:
1. Вычертить в масштабе заданную схему вала с указанием размеров и величин нагрузок.
2. Определить окружные Р и радиальные усилия Т, приняв соотношение между ними Т=0.36Р.
3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
4. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов.
5. Построить эпюру крутящих моментов.
6. Используя энергетическую теорию прочности, определить диаметры вала на отдельных участках и округлить их до стандартных размеров.
7. Вычертить эскиз.
1. Заданная схема вала представлена на рисунке 1.
2. Определим окружные Р и радиальные усилия Т.
Крутящий момент на валу вызывают силы Р1 и Р2.
Приведем силу P1 к центру тяжести сечения вала: тогда пара сил с моментом
вызывает кручение, а сила P - изгиб вала в вертикальной плоскости.
В свою очередь, пара сил с моментом М2 =Р2D2/2 вызывает кручение в противоположную сторону, а сила в центре тяжести сечения вызывает изгиб.
Найдем окружные силы Р1 и Р2:
Радиальные усилия Т определим по формуле:
3. Построим эпюры изгибающих моментов.
Эпюра от действия сил в горизонтальной плоскости.
Определим опорные реакции:
Проверка:
1-ый участок (0 при z=0,1 M=0,002 кН·м. 2-ой участок (0 M=RB·(0,1+z)+Т2·z. при z=0 M=0,002 кН·м, при z=0,06 M=0,043 кН·м. 3-ий участок (0 при z=0,03 M=0,043 кН·м. Эпюра от действия сил в вертикальной плоскости. Проверка: Строим эпюру изгибающих моментов. 1-ый участок (0 при z=0,1 M=0,25 кН·м. 2-ой участок (0 M=RB·(0,1+z)-Р2·z. при z=0 M=0,25 кН·м при z=0,06 M=0,2 кН·м. 3-ий участок (0 при z=0,03 M=0,2 кН·м. Построим эпюру суммарных изгибающих моментов. Для этого нужно рассмотреть несколько сечений вала и определить в них суммарный изгибающий момент по формуле: Отсюда получаем: Моменты внутренних сил или крутящих моментов находят методом сечений. Сначала разбивают вал на участки (между соседними шкивами) затем на каждом участке выбирают произвольное сечение. Крутящий момент в этом сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Знак крутящего момента определяют по знаку внешних моментов: положительным считается направление против движения часовой стрелки при взгляде на сечение вала вдоль его оси. При этом можно рассматривать любую часть вала по одну сторону от сечения. 1) Для вала на рис.2 крутящие моменты по участкам: 1-ый участок: 2-ой участок: М=0,2 кН·м. 3-ий участок: Полученные эпюры изображены на рисунке 2. Рисунок 2 - Эпюры изгибающих и крутящих моментов.
Для подбора сечения применяем энергетическую гипотезу прочности: Принимаем d1=70 мм., d2=120 мм.
